Question

如圖甲所示，兩塊正對的平行金屬板AB和CD板間距為d，長度為?，B、D為兩板的右端點，在金屬板B、D端的右側有一與金屬板垂直放置的熒光屏MN，熒光屏距B、D端的距離為?．質量m、電量e的電子以相同的初速度從極板左邊中央沿平行極板的直線連續不斷地射入．當兩板均不帶電時，這些電子通過兩板之間的時間為3T/2；當在兩板間加如圖乙所示的周期為T，幅值恒為U₀的周期性電壓時（t=0時刻AB板電勢高于CD板），所有電子均能從兩板間通過．試確定：
（1）在t=

T

2

時刻從兩板間飛入的電子在飛出電場時運動方向與水平方向的夾角為多少（用e、m、U₀、T、?、d及反正切函數表示）；
（2）電子在熒光屏上分布的范圍．（忽略極板邊緣處電場的影響，不計電子的重力以及電子之間的相互作用，取e/m=2×10¹⁰c/kg，U₀=20V，T=10-6s，d=1m）．

Answer 1

分析：（1）在t=

T

2

時刻從兩板間飛入的電子，在

T

2

-T時間內做勻速直線運動，在T-

3

2

T時間內做類平拋運動，在

3

2

T-2T時間內做勻速直線運動．根據運動的分解法，由牛頓第二定律和運動學公式求解電子在飛出電場時運動方向與水平方向的夾角．
（2）在0時刻從兩板間飛入的電子，在0-

T

2

時間內做類平拋運動，在

T

2

-T時間內做勻速直線運動，在T-

3

2

T時間內做類平拋運動，這些電子偏轉的距離最大．在t=

T

2

時刻從兩板間飛入的電子在熒光屏上偏轉的距離最小，由牛頓第二定律和運動學公式求解電子在熒光屏上偏轉距離．

解答：解：（1）在t=

T

2

時刻從兩板間飛入的電子，在

T

2

-T時間內做勻速直線運動，在T-

3

2

T時間內做類平拋運動，在

3

2

T-2T時間內做勻速直線運動．
電子做類平拋運動的加速度大小為
  a=

eU0

md

，
運動時間為

T

2

．
設電子在飛出電場時運動方向與水平方向的夾角為θ，則有
  tanθ=

vy

v0

=

at

v0

=

eU0 md ? T 2

v0

=

eU0T

2mdv0

①
又l=v0?

3

2

T②
由①②得，tanθ=

3eU0T2

4mdl

，則θ=arctan

3eU0T2

4mdl

．
（2）在0時刻從兩板間飛入的電子，在0-

T

2

時間內做類平拋運動，在

T

2

-T時間內做勻速直線運動，在T-

3

2

T時間內做類平拋運動，這些電子偏轉的距離最大．
設這些電子在電場中偏轉距離為y₁，在熒光屏上偏轉的距離Y₁．電子飛出電場時的速度偏向角為α．
則有y₁=

1

2

aT2+v0?

T

2

tanθ=

3eU0T2

4md

    tanα=

vY

v0

=

aT

v0

=

3eU0T2

2mdl

    Y₁=y₁+ltanα=

9eU0T2

4md

代入解得，Y₁=0.9m．
在t=

T

2

時刻從兩板間飛入的電子在熒光屏上偏轉的距離最小，同理可求得電子在熒光屏上偏轉的距離Y₂=0.45m．
答：
（1）在t=

T

2

時刻從兩板間飛入的電子在飛出電場時運動方向與水平方向的夾角為arctan

3eU0T2

4mdl

．
（2）電子在熒光屏上分布的范圍是：在熒光屏上O點上方距O點的距離范圍是0.45m-0.9m．

點評：本題粒子電子在周期性電場中，分析電子的運動情況是關鍵，運用運動的分解法研究；