Question

如圖所示，在半徑為R的圓周上的六個等分點分別為C、D、E、F、G、H，其中以D、E、G、H為圓心、R/4為半徑的圓形區域有垂直紙面向里磁感應強度為B₀的勻強磁場，在圓周兩側關于O對稱的位置有兩單邊界勻強磁場．其邊界與HG所在直線垂直．一個質量為m電荷量為+q的離子（不計重力），由A點（A為HG的中點）沿AH飛進小圓形磁場，之后沿HC方向飛出．離子在幾個磁場中飛進飛出做周期性運動，經歷一個周期再次沿AH方向通過A點．

（1）求離子速度v₀的大小？
（2）為使離子在兩側磁場區做圓周運動的半徑為

3

R/2，磁感應強度B₁的大小？兩磁場邊界的距離d為多少？
（3）在（2）問的條件下，離子完成一次周期性運動的時間T是多少？

Answer 1

分析：該題做出粒子運動的軌跡是解題的關鍵．通過作圖可以看出，粒子在4個小圓磁場中的軌跡偏轉角是60⁰，根據圖中的關系，可以求出偏轉半徑R1，進而求出速度；在4個小圓磁場中的軌跡偏轉角是60⁰，在兩側的偏轉角是300⁰，代入周期與時間關系的公式，可以求出在磁場中 的時間兩種時間；之外的空間中，粒子做勻速直線運動，代入公式x=vt，可以再求出兩種時間，最后把所有的時間加在一起就是總時間．

解答：解：根據題意，粒子運動的軌跡（部分）如圖：

（1）在B₀ 的磁場區域內，粒子的偏轉角為60°，其偏轉半徑R1 為：R1=

R 4

tan300

=

3 R

4

該區域內，洛倫茲力提供向心力：qvoB0=

m v 2 0

R1

故：v0=

qB0R1

m

=

3 qB0R

4m

（2）在B₁ 的磁場區域內，粒子的偏轉角為300⁰，如圖，洛倫茲力提供向心力：qvoB1=

m v 2 0

R2

故：B1=

B0

2

由圖可得邊界到C點的距離：d′=R2sin300?sin300=

3 R

8

兩磁場邊界的距離d為：d=2R+2d′=(2+

3

2

)R
（3）粒子在B₀ 的磁場區域內的周期：T1=

2πm

qB0

粒子在B₀ 的磁場區域內的時間：t1=

θ

2π

T1=

πm

3

粒子在B₁ 的磁場區域內的周期：T2=

2πm

qB1

=

4πm

3qB0

粒子在B₁ 的磁場區域內的時間：t2=

θ′

2π

T2=

10πm

3qB0

粒子在兩個磁場之間做勻速直線運動，距離：L=

3

4

R+R2Sin300=

3+ 3

4

R
粒子在兩個磁場之間的運動時間：t3=

L

v0

=

(1+ 3 )m

qB0

D到E和F到G之間的沒有磁場的區域時間均為：t4=

R

2v0

=

3 m

3qB0

粒子運動的總時間：t總=4t1+2t2+4t3+2t4=

24πm+12m+14 3 m

3qB0

答：（1）粒子的速度為：

3 qB0R

4m

；（2）B1=

B0

2

；兩磁場邊界的距離d為：(2+

3

2

)R；（3）粒子運動的總時間：

24πm+12m+14 3 m

3qB0

點評：該題考查帶電粒子在磁場中的運動，屬于該知識點中的基礎方法的應用，由于該題涉及的過程較多，求時間的步驟較為復雜．該題屬于難題．