Question

12．人類已向火星發射多顆人造探測器，以對火星開展近距離科學研究．某探測器在距離火星表面高度為h的軌道上，成為一顆繞火星做勻速圓周運動的衛星，探測器的運動周期為T．已知火星的半徑為R，引力常量為G．求：
（1）火星的質量M．
（2）火星表面的重力加速大小g．
（3）火星的第一宇宙速度大小v．

Answer 1

分析 （1）根據探測器的萬有引力等于向心力列式求解即可；
（2）在火星表面，在不考慮自轉的情況下，物體的重力等于萬有引力；
（3）火星的第一宇宙速度是近地衛星的環繞速度．

解答 解：（1）探測器的萬有引力等于向心力，則有$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$，
解得：火星質量M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$，
（2）火星表面，由重力等于萬有引力，有$mg=\frac{GMm}{{R}^{2}}$，
解得：g=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$
（3）第一宇宙速度是近地衛星的環繞速度，根據牛頓第二定律，有
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\frac{2π（R+h）}{T}\sqrt{\frac{R+h}{R}}$．
答：（1）火星的質量M為$\frac{4{π}^{2}{（R+h）}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）火星表面的重力加速大小g為$\frac{4{π}^{2}{（R+h）}^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$；
（3）火星的第一宇宙速度大小v為$\frac{2π（R+h）}{T}\sqrt{\frac{R+h}{R}}$．

點評 本題關鍵是明確探測器的向心力來源，根據牛頓第二定律列式求解，同時要注意在火星表面，重力等于萬有引力，基礎題目．