Question

4．如圖所示，在足夠高的光滑水平臺面上靜置一質量為m的長木板A，A右端用輕繩繞過光滑的輕質定滑輪與質量也為m的物體C栓接．當C從靜止開始下落距離h時，在木板A的最右端輕放一質量為4m的小鐵塊B（可視為質點），最終B恰好未從木板A上滑落．A、B間的動摩擦因數μ=0.25，且認為最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g，求：
（1）C由靜止下落距離h時，A的速度大小v_o；
（2）木板A的長度L；
（3）若當鐵塊B輕放在木板A的最右端的同時，對B加一水平向右的恒力F=7mg，其他條件不變，求 B滑出A時的速度大小．

Answer 1

分析 （1）對A、C系統，由動能定理可以求出A的速度；
（2）繩繃緊后，根據牛頓第二定律對AC系統列式，可知AC向右勻速運動．B向右勻加速運動，根據牛頓第二定律求得B的加速度．由公式v=at求出從繩繃緊至二者共速所經過的時間，再由運動學公式求出二者相對位移大小，即為木板A的長度．
（3）應用牛頓第二定律求出物體的加速度，然后應用勻變速直線運動的運動規律可以求出B的速度．

解答 解：（1）對A、C系統，由動能定理得：mgh=$\frac{1}{2}$•2mv₀²-0，解得：v₀=$\sqrt{gh}$；
（2）B放在A上后，設A、C仍一起加速運動，
由牛頓第二定律得：mg-μ•4mg=ma，解得：a=0，
則B放在A上后，A、C以速度v₀做勻速直線運動，
B做勻加速直線運動，加速度：a_B=$\frac{μ•4mg}{4m}$=0.25g，
經時間t₀后，A、B、C共速，且B剛好運動至木板A的左端，
則：v₀=a_Bt₀，木板A的長度：L=v₀t₀-$\frac{1}{2}$v₀t₀，解得：L=2h；
（3）三者共速前，A、C做勻速直線運動，B做勻加速直線運動，
a_B1=$\frac{F+μ•4mg}{4m}$=2g，t₁=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{B1}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{h}{g}}$，
△x₁=x_AC-x_B=v₀t₁-$\frac{1}{2}$v₀t₁=$\frac{1}{4}$h，
共速后，A、B、C全都向右加速運動，
加速度：a_B2=$\frac{F-μ•4mg}{4m}$=$\frac{3}{2}$g，a_AC=$\frac{mg+μ•4mg}{2m}$=g，
△x₂=△x₁=$\frac{1}{2}$（a_B2-a_AC）t₂²，解得：t₂=$\sqrt{\frac{h}{g}}$，
物體B的速度：v_B2=v₀+a_B2t₂=$\frac{5}{2}$$\sqrt{gh}$；
答：（1）C由靜止下落距離h時，A的速度大小v_o為$\sqrt{gh}$；
（2）木板A的長度L為2h；
（3）B滑出A時的速度大小為$\frac{5}{2}$$\sqrt{gh}$．

點評 本題考查了求速度與木板長度問題，考查了牛頓第二定律的應用，分析清楚物體的運動過程是解題的關鍵，應用牛頓第二定律與運動學公式可以解題．