Question

一條寬度為L的河流，水流速度為V_s，已知船在靜水中的速度為V_c，那么：
（1）怎樣渡河時間最短？
（2）若V_c>V_s，怎樣渡河位移最小？
（3）若V_c<V_s，怎樣渡河船漂下的距離最短？船渡河的最短位移是多少？

Answer 1

解：（1）如圖甲所示

設船上頭斜向上游與河岸成任意角θ，這時船速在垂直于河岸方向的速度分量V₁=V_csinθ，
渡河所需時間為：
可以看出：L、V_c一定時，t隨sinθ增大而減小；
當θ=90⁰時，sinθ=1，所以當船頭與河岸垂直時，渡河時間最短，
（2）如圖乙所示，

渡河的最小位移即河的寬度。為了使渡河位移等于L，必須使船的合速度V的方向與河岸垂直。
這是船頭應指向河的上游，并與河岸成一定的角度θ。根據三角函數關系有：
V_ccosθ─V_s=0，所以θ=arccosV_s/V_c
因為0≤cosθ≤1，
所以只有在V_c>V_s時，船才有可能垂直于河岸橫渡。
（3）如果水流速度大于船上在靜水中的航行速度，則不論船的航向如何，總是被水沖向下游。
怎樣才能使漂下的距離最短呢？如圖丙所示，

設船頭V_c與河岸上游成θ角，合速度V與河岸下游成α角。
可以看出：α角越大，船漂下的距離x越短，那么在什么條件下α角最大呢？
以V_s的矢尖為圓心，以V_c為半徑畫圓，當V與圓相切時，α角最大，
根據cosθ=V_c/V_s，
船頭與河岸的夾角應為：θ=arccosVc/Vs。
此時渡河的最短位移為：