Question

一條寬度為L的河流，水流速度為，已知船在靜水中的速度為，那么：(1)怎樣渡河時間最短？(2)若，怎樣渡河位移最小？(3)若，怎樣渡河船漂下的距離最短？

Answer 1

答案：略
解析：

(1)如圖甲所示，設船頭斜向上游與河岸成任意角q ，這時船速在垂直河岸方向的速度分量為，渡河所需的時間為 ． 可以看出，L、一定時，t隨sinq 增大而減小；當q =90°時，sinq =1(最大)．所以船頭與河岸垂直時，渡河時間最短 ． (2)如圖乙所示，渡河的最小位移即河的寬度．為了使渡河位移等于L，必須使船的合速度v的方向與河岸垂直．這時船頭應指向河的上游，并與河岸成一定的角度q ，船沿河流上游方向的分速度與水流速度等值反向 ， ， 即 ． 因為，所以只有在時，船才有可能垂直河岸橫渡． (3)如果水流速度大于船在靜水中的航行速度，則不論船的航向如何，總是被水沖向下游．怎樣才能使漂下的距離最短呢？如圖丙所示，設船頭與上游河岸成q 角，合速度與河岸成?角．可以看出：?角越大，船漂下的距離x越短．那么，在什么條件下?角最大呢？以的矢尖為圓心，大小為半徑畫圓，當與圓相切時，?角最大．根據知，船頭與河岸的夾角應為 ． 船漂下的最短距離為 ， 此時渡河的最短位移為 ， 此時渡河的時間 ． 　　小船渡河的實際運動可以看作是船在靜水中的運動和船隨水流的運動合成的．根據運動的獨立性和等時性，從題中已知河寬的條件分析，小船在垂直河岸方向的速度最大時，所用的時間短，因此可將小船渡河運動沿水流方向和垂直河岸方向分解，找出最大的垂直速度即可．小船渡河的最短位移是河寬，但此時船在靜水中的速度與水流速度必須滿足一定的條件，即船沿河流上游方向的分速度要與水流速度等值反向，這樣合速度才能垂直于河岸，最終到達正對岸．如果船沿河流上游方向的分速度不能與水流速度等值反向，則合速度只能偏向下游，最終船將無法到達正對岸，但這種情況下船漂向下游的距離存在最小值． 　　本題著重考查的是對運動合成和分解的應用，根據運動的等時性，靈活選擇是由合運動求時間，還是由某一分運動求時間，正確的分解運動是解答本題的關鍵．