Question

11．在一足夠大的光滑水平面上建立如圖所示的xoy坐標系，第一、四象限存在方向豎直向上、磁感應強度為B的勻強磁場；第四象限存在沿x軸正方向、電場強度為E的勻強電場．一長為L內壁光滑的薄玻璃管與y軸平行放置在水平面上的第三象限，開口端b與x軸重合，在玻璃管的a端放置一個直徑比玻璃管直徑略小的小球，小球帶電荷量為-q、質量為m．玻璃管帶著小球以水平速度v₀沿x軸正方向運動，由于水平外力的作用，玻璃管進入磁場后速度保持不變，經一段時間后小球從玻璃管b端滑出并能在水平面內自由運動，最后從y軸飛離磁場．設運動過程中小球的電荷量保持不變，求：
（1）小球從玻璃管b端滑出時速度的大小；
（2）從玻璃管進入磁場至小球從b端滑出的過程中，外力F隨時間t變化的關系；
（3）小球飛離磁場時速度的方向．

Answer 1

分析 （1）小球參與兩個運動，第一是隨玻璃管水平向右的勻速直線運動，第二是在洛侖茲力作用下沿y軸正方向的勻加速直線運動，則離開管口的速度就是兩者的矢量和．
（2）由于小球有沿y軸正方向的速度，由左手定則小球還受到向左的洛侖茲力，加上電場力均擠壓玻璃管，所以小球與玻璃管間相互作用彈力大小為兩者之和．由運動學公式表示出v_y，從而就能表示出洛侖茲力，彈力，外力等．
（3）先由球在管里的勻加速直線運動位移求出時間，從而求出沿水平方向的位移，進入x軸上方的速度在第一問已經求出，由洛侖茲力提供向心力從而求得半徑，再由幾何關系就能求出從y軸上穿出時的角度．

解答 解：（1）如圖所示，小球沿管勻加速，由牛頓第二定律：a=$\frac{{F}_{洛}}{m}$，
  又 F_洛=Bv₀q
  得：$a=\frac{{B{v_0}q}}{m}$    ①
  設小球運動至b端時的y方向速度分量為v_y，則：$v_y^2=2aL$    ②
  又$v=\sqrt{v_0^2+v_y^2}$     ③
  由①～③式，可解得小球運動至b端時速度大小為：
   $v=\sqrt{\frac{{2B{v_0}qL}}{m}+v_0^2}$     ④
（2）設小球與玻璃管間相互作用彈力大小為N，則N=Eq+Bv_yq        ⑤
  依題意，由平衡條件可知，玻璃管受到的水平外力為：F=N            ⑥
  又${v_y}=at=\frac{{B{v_0}q}}{m}t$        ⑦
  由⑤～⑦式可得外力隨時間變化關系為：
   $F=\frac{{{B^2}{v_0}{q^2}}}{m}t+qE$       ⑧
（3）設小球在管中運動時間為t₀，小球在磁場中做圓周運動的半徑為R，
  軌跡如圖所示
  t₀時間內玻璃管的運動距離 x=v₀t₀       ⑨
  小球沿管勻加速 $L=\frac{1}{2}at_0^2$                  ⑩
  由牛頓第二定律得：$qvB=\frac{{m{v^2}}}{R}$
  由幾何關系得：$sinα=\frac{{x-{x_1}}}{R}$，又   $\frac{x_1}{R}=\frac{v_y}{v}$
  由①～②、⑧～⑩式可得：sinα=0
  故α=0⁰，即小球飛離磁場時速度方向垂直于y軸向左
答：（1）小球從玻璃管b端滑出時速度的大小$\sqrt{\frac{2B{v}_{0}qL}{m}+{{v}_{0}}^{2}}$．
（2）從玻璃管進入磁場至小球從b端滑出的過程中，外力F隨時間t變化的關系為$F=\frac{{{B^2}{v_0}{q^2}}}{m}t+qE$．
（3）小球飛離磁場時速度的方向是垂直于y軸向左．

點評 由于球隨管向右勻速直線運動，則球受到沿y正方向的洛侖茲力做勻加速直線運動，而由于有沿y正方向的速度增加，則同時又受到向左的洛侖茲力將增加，這些物理過程相互關聯．至于第三問判斷離開磁場的方向，涉及的知識點更多，首先求出球離開玻璃管的時間、末速度、位移、在磁場中做勻速圓周運動的半徑等，再由幾何關系求出打在y軸上的速度方向．