Question

18．如圖所示，電阻忽略不計的、兩根平行的光滑金屬導軌豎直放置，其上端接一阻值為3Ω的定值電阻R．在水平虛線L₁、L₂間有一與導軌所在平面垂直的勻強磁場B，磁場區域的高度為d=0.5m，導體棒a的質量m_a=0.2kg，電阻R_a=3Ω；導體棒b的質量m_b=0．lkg、電阻R_b=6Ω，它們分別從圖中M、N處同時由靜止開始在導軌上無摩擦向下滑動，都能勻速穿過磁場區域，且當b剛穿出磁場時a正好進入磁場．設重力加速度為g=l0m/s²，不計a、b棒之間的相互作用．導體棒始終與導軌垂直且與導軌接觸良好．求：
（1）在整個過程中，a、b兩棒分別克服安培力所做的功；
（2）M點距L₁的高度h₁和N點距L₁的高度h₂的比值．

Answer 1

分析 （1）由于兩棒在磁場中均勻速通過，所以各自的安培力等于各自的重力，所以克服安培力做的功就等于重力做的功，第一問直接用功的公式可以求出來．
（2）求兩棒的初始位置離磁場上邊緣的距離之比，這一段是自由落體運動，求出速度之比，從而得到高度之比，而速度又與感應電動勢、感應電流、安培力有關，勻速通過時，安培力等于重力．所以還是從平衡出發，表示出高度的式子，就不難看出高度與哪些量有關了．

解答 解：（1）因為a b棒都能勻速通過磁場區域，所以在磁場中克服安培力做的功：
    W_a=m_agd=0.2×10×0.5J=1J
     W_b=m_bgd=0.1×10×0.5J=0.5J
 （2）對b棒，進入磁場的速度：${v}_{2}=\sqrt{2g{h}_{2}}$．
   切割產生的感應電動勢：E₂=BLv₂   
  感應電流：${I}_{2}=\frac{{E}_{2}}{{R}_{2}}$，
   而  ${R}_{2}=\frac{3×3}{3+3}Ω+6Ω=7.5Ω$．
  當b棒勻速運動時：m_bg=BI₂L．
  聯立以上幾式得：${m}_{b}g=\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2g{h}_{2}}}{{R}_{2}}$．
    于是：${h}_{2}=\frac{{{m}_{b}}^{2}g{{R}_{2}}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$
  同理：對a棒同樣可以得到：${h}_{1}=\frac{{{m}_{a}}^{2}g{{R}_{1}}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$，而${R}_{1}=\frac{3×6}{3+6}Ω+3Ω=5Ω$．
   所以：$\frac{{h}_{1}}{{h}_{2}}=（\frac{{m}_{a}}{mb}）^{2}（\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}）^{2}$=$\frac{16}{9}$ 
答：（1）在整個過程中，a、b兩棒分別克服安培力所做的功分別為1J和0.5J．
（2）M點距L₁的高度h₁和N點距L₁的高度h₂的比值為$\frac{16}{9}$．

點評 雖然求出了高度之比，實際上還可以求出高度的具體的值，解答如下：先求出速度之比為$\frac{{v}_{a}}{{v}_{b}}=\frac{4}{3}$，又因為${v}_{a}={v}_{b}+gt\\;\$，且v_bt=d．聯立以上幾式得：${v}_{a}=\frac{4\sqrt{15}}{3}m/s$，${v}_{b}=\sqrt{15}m/s$，再由公式$h=\frac{{v}^{2}}{2g}$，分別求得a b兩棒初始位置離磁場上邊緣的距離分別為1.33m 和0.75m，看來本題還有很多變式的！