Question

8．如圖所示，兩根足夠長的平行金屬導軌MN、PQ，導軌平面與水平面的夾角為α=30°，導軌光滑且電阻不計，導軌處在垂直導軌平面向上的有界勻強磁場中．兩根電阻都為R=2Ω、質量都為m=0.2kg的完全相同的金屬棒ab和cd垂直于MN、PQ并排靠緊放置在導軌上端，與磁場上邊界的距離為s=1.6m，有界勻強磁場的寬度為3s=4.8m．先將金屬棒ab由靜止釋放，金屬棒進入磁場時恰好做勻速運動，此時立即由靜止釋放金屬棒cd，金屬棒cd在出磁場前已做勻速運動．兩金屬棒在下滑過程中與導軌始終接觸良好，不計金屬棒的粗細．求：
（1）金屬棒ab進入磁場時的速度v和電流I
（2）金屬棒ab通過磁場過程的時間t
（3）兩根金屬棒全部通過磁場過程中回路產生的焦耳熱Q
（4）金屬棒cd在磁場中的運動過程中通過回路橫截面積的電量q．

Answer 1

分析 （1）對導體棒進入磁場前過程運用動能定理列式求解，得到進入磁場的速度；然后根據平衡條件、安培力公式、切割公式、歐姆定律列式求解；
（2）金屬棒cd加速下滑過程，ab棒勻速運動，cd棒剛進入磁場時，兩根棒速度相同，故無感應電流，不受安培力，一起加速；ab棒出磁場后，cd棒先減速后勻速，也可能一直減速；明確運動過程，根據動力學公式即可求得總時間；
（3）根據q分第一根導體棒穿過磁場和第二個根導體棒穿過磁場過程（兩個導體棒都在磁場中時，兩個棒的速度相同，無感應電流，無電熱）進行討論，第二根離開磁場過程根據動能定理列式求解．
（4）明確導體棒運動中線圈中磁通量變化，再根據法拉第電磁感應定律求解求均電動勢，從而求出電量q．

解答 解：（1）由動能定理，得到：mgxsinα=$\frac{1}{2}$mv₁²，
解得：v₁═4m/s
此后棒勻速下滑，根據切割公式，有：E=BLv₁
根據歐姆定律，有：E=I×2R
根據安培力公式，有：F=BIL
根據平衡條件，有：mgsinα=BIL
聯立得到：mgsinα=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{2R}$
解得：BL=1T•m 
又由于BIL=mgsinα，
解得：I=1A；
（2）金屬棒ab進入磁場時以速度v先做勻速運動，設經過時間t₁，當金屬棒cd也進入磁場，速度也為v，由金屬棒cd運動得：
t₁=$\frac{s}{\frac{v}{2}}$=$\frac{2s}{v}$=$\frac{2s}{\sqrt{2gsinαs}}$
解得：t₁=0.8s；
此時金屬棒ab在磁場中的運動距離為：x=vt₁=2s
當兩金屬棒都進入磁場時，金屬棒ab做勻加速運動時間為t2，運動的距離為3s-2s=s
由速度公式可得：s=vt₂+$\frac{1}{2}$gsinαt₂²
解得：t₂=$\frac{\sqrt{16gsinαs}-\sqrt{8gsinαs}}{2gsinα}$=$\frac{（2\sqrt{2}-2）s}{\sqrt{2gsinαs}}$=0.8（$\sqrt{2}$-1）s
總時間為：t=t₁+t₂=0.8（$\sqrt{2}$-1）+0.8=0.8$\sqrt{2}$s；
（3）金屬棒ab在磁場中（金屬棒cd在磁場外）回路產生的焦耳熱為：
Q₁=mgsinα×2s=3.2J 
金屬棒ab、金屬棒cd都在磁場中運動時，回路不產生焦耳熱．兩棒加速度均為gsinα，ab離開磁場時速度為v₂，v₂²-v₁²=2gxsinα，
解得：v₂=$\sqrt{4gssinα}$=4$\sqrt{2}$m/s
金屬棒cd在磁場中（金屬棒ab在磁場外），金屬棒cd的初速度為v₂=4$\sqrt{2}$m/s，末速度為$\sqrt{2gssinα}$=4m/s，由動能定理可得：
mgsinα×2s-Q₂=$\frac{1}{2}$m（$\sqrt{2gssinα}$）²-$\frac{1}{2}$m（$\sqrt{4gssinα}$）²
Q₂=mgsinα×3s=4.8J
故總的焦耳熱為：Q=Q₁+Q₂=mgsinα×5x=8J
（4）設經過時間t₁，金屬棒cd也進入磁場，其速度也為v₁，金屬棒cd在磁場外有x=$\frac{1}{2}$v₁•t₁，此時金屬棒ab在磁場中的運動距離為：X=v₁t₁=2x，
兩棒都在磁場中時速度相同，無電流，金屬棒cd在磁場中而金屬棒ab已在磁場外時，cd棒中才有電流，cd棒加速運動的位移為2x；
電量為q=$\frac{△Φ}{2R}$=$\frac{BL2s}{2R}$=$\frac{BLs}{R}$=$\sqrt{\frac{ms\sqrt{2gsinαs}}{R}}$
解得：q=0.8C．
答：（1）金屬棒ab進入磁場時的速度v和電流I分別為4m/s和1A；
（2）金屬棒ab通過磁場過程的時間t為0.8$\sqrt{2}$s
（3）兩根金屬棒全部通過磁場過程中回路產生的焦耳熱Q為8J
（4）金屬棒cd在磁場中的運動過程中通過回路橫截面積的電量q為0.8C．

點評 本題考查電磁感應與功能關系和動力學相結合的分析問題；關鍵是明確兩個棒的運動過程，然后運用運動學公式、動能定理、法拉第電磁感應定律等列式求解．