Question

13．如圖所示，豎直光滑的固定桿子上套有一滑塊A，滑塊通過細繩繞過光滑滑輪連接物塊B，B又通過一輕質彈簧連接物塊C，C靜止在地面上．開始用手托住A，使繩子剛好伸直處于水平位置但無張力，現將A由靜止釋放，當A、B速度達到最大時，C也剛好同時離開地面（此時B還沒有到達滑輪位置）．已知：m_A=1.2kg，m_B=m_C=1.0kg，滑輪與桿子的水平距離L=0.8m，g取10m/s²．試求：
（1）A下降多大距離時速度最大？
（2）彈簧的勁度系數k；
（3）A的最大速度是多少？

Answer 1

分析 （1）當A速度達到最大時，加速度等于0，此時C剛好同時離開地面，那么對B和C整體可求出繩子拉力，根據幾何關系求得B上升高度，求出A下降的高度．
（2）B上升的高度等于開始與此時彈簧形變量之和，由胡克定律求解彈簧的勁度系數．
（3）對于物體A、B、C以及彈簧組成系統，只有重力和彈簧的彈力做功，系統的機械能守恒，根據機械能守恒定律和兩物體的速度關系列式求解即可．

解答 解：（1）如圖所示，設A下降h時速度達最大，此時繩與桿夾角為θ，
繩中張力為T．因為A物塊速度達到最大，故加速度為零，即受力平衡，
有  m_Ag=Tcosθ，

此時C剛好離開地面，故 T=（m_B+m_C）g=20N，
解得cosθ=0.6，即θ=53°，
所以 h=$\frac{L}{tanθ}$=$\frac{0.8}{tan53°}$=0.6m．
（2）開始時繩中無張力，對B分析，有m_Bg=kx₁，
C離開地面時，有 m_Cg=kx₂，
又 x₁+x₂=$\frac{L}{sinθ}$-L
可解得 k=100N/m．
（3）由（2）知，x₁=x₂=0.1m，故初、末狀態彈簧的彈性勢能相等，
對A、B、C及彈簧系統由機械能守恒定律有
  m_Ag h-m_B g （x₁+x₂）=$\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2}$
又 v_B=v_Acosθ
聯立可解得 v_A=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$m/s．
答：
（1）A下降0.6m時速度最大；
（2）彈簧的勁度系數為100N/m．
（3）A的最大速度是$\frac{2\sqrt{15}}{3}$m/s．

點評 本題關鍵分析清楚物體的運動規律，明確A的速度最大的條件：合力為零，知道兩個物體沿繩子方向的分速度大小相等，然后根據平衡條件和機械能守恒定律以及胡克定律列式研究．