Question

已知地球的平均半徑為R=6400km，地球表面的重力加速度為g=9.8m/s²，引力常量為G=6.67×10^-11N?m²/kg²
（1）有一顆近地衛星繞地球表面運動，試估算其運行周期T的平方？
（2）試用地球的平均半徑R、地球表面的重力加速度g、引力常量G導出地球的平均密度的表達式．

Answer 1

分析：根據公式：mg=m

4π2

T2

R求得衛星的周期；根據在地球表面繞地球做勻速圓周運動的物體重力提供向心力公式求出地球質量，再根據密度等于質量除以體積求解．

解答：解：（1）衛星受到的萬有引力提供向心力，得：mg=m

4π2

T2

R
代入數據解得：T2=

4π2R

g

=2.56×107s2
（2）地球表面的物體受到的重力約等于物體的萬有引力，得：mg=G

Mm

R2

地球的密度：ρ=

M

V

地球的體積：V=

4

3

πR3
聯立以上各式解得：ρ=

3g

4πGR

答：（1）估算其運行周期T的平方T²=2.56×10⁷s²；
（2）地球的平均密度的表達式ρ=

3g

4πGR

．

點評：該題考查了在地球表面繞地球做勻速圓周運動的物體重力提供向心力的公式和密度公式，難度不大．