Question

3．如圖所示，BC是半徑為R的豎直面內的圓弧軌道，軌道末端C在圓心O的正下方，∠BOC=60°，將質量為m的小球，從與O等高的A點水平拋出，小球恰好從B點沿圓弧切線方向進入圓軌道，由于小球與圓弧之間有摩擦，能夠使小球從B到C做勻速圓周運動．重力加速度大小為g．則（　　）

• A． 從B到C，小球克服摩擦力做功為$\frac{1}{2}$mgR
• B． 從B到C，小球與軌道之間摩擦力保持不變
• C． 在C點，小球對軌道的壓力大小等于mg
• D． A、B兩點間的距離為$\sqrt{\frac{7}{12}}$R

Answer 1

分析 小球進入軌道前做平拋運動，應用平拋運動規律可以求出小球的初速度、小球的水平與豎直位移，從而求出A、B兩點的距離，由牛頓第二定律與牛頓第三定律可以求出小球對軌道的壓力．

解答 解：AD、小球做從A到B做平拋運動，在B點，小球速度方向偏角θ=60°，
則$tan60°=\frac{{v}_{y}}{{v}_{A}}$，v_y=gt
豎直方向的位移y=Rcos60°=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向的位移x=v_At
解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}R$
則A、B兩點的距離${x}_{AB}=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{\frac{7}{12}}R$，
在B點時小球的速度$v=\sqrt{{{v}_{A}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\frac{2\sqrt{3gR}}{3}$
球從B到C做勻速圓周運動，則由能量守恒定律可知
小球克服摩擦力做的功等于重力做的功${W}_{G}=mgR（R-Rcos60°）=\frac{1}{2}mgR$，故A正確，D正確；
B、從B到C，小球做勻速圓周運動，合外力指向圓心，則沿著速度方向的合力為零，即摩擦力等于重力沿速度方向的分力，而重力沿速度方向的分力逐漸減小，則摩擦力逐漸減小，由牛頓第三定律可知小球對軌道之間摩擦力逐漸減小，故B錯誤；
C、在C點，軌道對小球的支持力設為F_N
則有${F}_{N}-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得F_N=$\frac{7}{3}mg$，由牛頓第三定律可知，在C點小球對軌道的壓力也為$\frac{7}{3}mg$，故C錯誤；
故選：AD

點評 本題考查了平拋運動和圓周運動，分析清楚小球運動過程、應用運動的合成與分解、運動學公式、牛頓第二定律即可正確解題．