Question

如圖所示，在半徑為R的絕緣圓筒內有勻強磁場，方向垂直紙面向里，圓筒正下方有小孔C與平行金屬板M、N相通．兩板間距離為d，兩板與電動勢為E的電源連接，一帶電量為-q、質量為m的帶電粒子（重力忽略不計），在C點正下方緊靠N板的A點，無初速經電場加速后從C點進入磁場，與圓筒發生兩次碰撞后從C點射出．已知帶電粒子與筒壁的碰撞無電荷量的損失，且碰撞后以原速率返回．求：
（1）大致畫出粒子運動的軌跡；
（2）筒內磁場的磁感應強度大小；
（3）帶電粒子從A點出發至第一次回到A點所經歷的時間；
（4）若帶電粒子與圓筒發生N次碰撞后從C點射出．求帶電粒子從A點出發至第一次回到A點所經歷的時間．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，與圓筒垂直碰撞后返回，每個圓弧軌跡為三分之一圓周；
（2）對直線加速過程運用動能定理列式求解出圓周運動的速度；根據幾何關系求解圓周運動的軌道半徑；然后根據洛倫茲力提供向心力列式求解出磁感應強度；
（3）根據運動學公式求解出粒子從A到C的時間，圓周運動的實際剛好為半個周期，從C到A時間與A到C時間相等；
（4）粒子從A到C和從C到A世間不變，在磁場中運動時間求出總的圓心角后列式求解即可．

解答：解：（1）如圖所示；

（2）由題意知，帶電粒子從C孔進入，與筒壁碰撞2次再從C孔射出
由qE=

1

2

mv2
粒子由C孔進入磁場，在磁場中做勻速圓周運動的速率為v=

2qE m

由r=

mv

qB

，即Rcot30°=

mv

qB

得：B=

1

R

2mE 3q

（3）粒子從A到C的加速度為a=

qE

md

，d=

a t 2 1

2

粒子從A到C的時間為t1=

2d a

=d

2m qE

粒子在磁場中運動的時間為t2=

T

2

=

πm

qB

將（1）求得的B值代入，得t2=πR

3m 2qE

求得：t=2t1+t2=

m qE

(2

2

d+

3 2

πR)
（4）設碰撞n次，則對應的一小段圓弧的圓心角為：180°-

360°

n+1

；
故圓周運動的時間為：t2′=

(n+1)(180°- 360° n+1 )

360°

T=

n-1

2

T=(n-1)

πm

qB

；
將（1）求得的B值代入，得t2′=π(n-1)R

3m 2qE

粒子從A到C的加速度為a=

qE

md

，d=

a t 2 1

2

粒子從A到C的時間為t1=

2d a

=d

2m qE

求得：t′=2t1′+t2=

m qE

[2

2

d+

3 2

(n-1)πR]
答：（1）粒子運動的軌跡如圖；
（2）筒內磁場的磁感應強度大小為

1

R

2mE 3q

；
（3）帶電粒子從A點出發至第一次回到A點所經歷的時間為

m qE

(2

2

d+

3 2

πR)；
（4）帶電粒子從A點出發至第一次回到A點所經歷的時間為

m qE

[2

2

d+

3 2

(n-1)πR]．

點評：本題關鍵明確帶電粒子的運動規律，畫出運動軌跡，然后根據幾何關系求解出半徑，再根據動能定理和牛頓第二定律列式求解，難題．