Question

如圖所示，質量分別為2m和3m的兩個小球固定在一根直角尺的兩端A、B，直角尺的頂點O處有光滑的固定轉動軸．AO、BO的長分別為2L和L．開始時直角尺的AO部分處于水平位置而B在O的正下方．讓該系統由靜止開始自由轉動，求：
（1）當A到達最低點時，A小球的速度大小v；
（2）B球能上升的最大高度h；
（3）開始轉動后B球可能達到的最大速度v_m．

Answer 1

分析：（1）AB兩個球組成的系統機械能守恒，根據系統的機械能守恒列式可以求得AB速度之間的關系，同時由于AB是同時轉動的，它們的角速度的大小相同．聯立即可求解v．
（2）B球不可能到達O的正上方，它到達最大高度時速度一定為零，再根據系統的機械能守恒求解最大高度h．
（3）設OA桿從開始轉過θ角時，B球的速度達到最大．根據系統的機械能守恒和AB速度關系，得到B的速度與θ的關系式，運用數學知識求解B速度的最大值．

解答：解：（1）以直角尺和兩小球組成的系統為對象，由于轉動過程不受摩擦和介質阻力，所以該系統的機械能守恒．
A、B轉動的角速度始終相同，由v=ωr，有v=2v_B
系統的機械能守恒，得：2mg?2L=3mg?L+

1

2

?2mv2+

1

2

?3m?

v

2 B

 解得 v=

8gL 11

（2）B球不可能到達O的正上方，它到達最大高度時速度一定為零，設該位置位于OA桿豎直位置向左偏了α角．如圖所示（2）．則有
2mg?2Lcosα=3mgL（1+sinα）
此式可化簡為 4cosα-3sinα=3
解得 sin（53°-α）=sin37°，α=16°
所以B球能上升的最大高度h=L+Lsin16°=L+Lsin（53°-37°）
解得h=1.28L
（3）B球速度達到最大v_m時，系統的動能最大．設OA桿從開始轉過θ角時，B球的速度達到最大．
根據系統的機械能守恒定律得：2mg?2Lcosθ-3mg?L（1-sinθ）=

1

2

?2m

v

2 A

+

1

2

?3m

v

2 B

又v_A=2v_B，
則得

v

2 B

=

2

11

gL(4cosθ+3sinθ)-

6

11

gL
根據數學知識得：4cosθ+3sinθ的最大值為5，則得B球速度的最大值v_m=

4 11 gL

答：
（1）當A到達最低點時，A小球的速度大小v是

8gL 11

；
（2）B球能上升的最大高度h是1.28L；
（3）開始轉動后B球可能達到的最大速度v_m是

4 11 gL

．

點評：本題中的AB的位置關系并不是在一條直線上，所以在球AB的勢能的變化時要注意它們之間的關系，在解題的過程中還要用到數學的三角函數的知識，要求學生的數學基本功要好，本題由一定的難度．