Question

如圖甲所示，勻強磁場方向垂直紙面向里，磁場寬度為3L，正方形金屬框邊長為L，每邊電阻均為R/4，金屬框以速度v勻速直線穿過磁場區域，其平面始終保持與磁感線方向垂直．當金屬框dc邊到達磁場左邊緣時，勻強磁場磁感應強度大小按如圖乙所示的規律變化．
（1）求金屬框在進入磁場階段dc邊兩端的電勢差；
（2）在圖丙i-t坐標平面上畫出金屬框穿過磁場區域的過程中，金屬框內感應電流i隨時間t的變化圖線（取逆時針方向為電流正方向）；
（3）求金屬框穿過磁場區域的過程中dc邊克服安培力做的功W．

Answer 1

分析：（1）根據切割產生的感應電動勢公式求出電動勢的大小，結合閉合電路歐姆定律求出感應電流的大小，從而求出dc兩端的電勢差．
（2）結合切割產生的感應電動勢公式以及法拉第電磁感應定律求出每段過程中的感應電動勢的大小，從而求出感應電流的大小，通過楞次定律判斷出感應電流的方向，從而作出i-t圖線．
（3）先求出cd邊進入磁場時克服安培力所做的功，再根據安培力的大小求出線框全部進入磁場時克服安培力做功功率的表達式，根據W=

.

P

t求出該過程中克服安培力做功的大小，從而得出整個過程克服安培力做功的大小．

解答：解：（1）金屬框進入磁場階段產生的電動勢為：E₁=B₀Lv．
產生逆時針方向的感應電流為：I1=

E1

R

=

B0Lv

R

．
此時金屬框上dc邊兩端的電勢差為：
Udc=E1-I1?

R

4

=B0Lv-

B0Lv

R

?

R

4

=

3

4

B0Lv．
（2）金屬框在磁場中產生逆時針方向的感應電流為：I2=

S?△B

R?△t

=

B0Lv

2R

．
金屬框離開磁場階段產生的順時針方向的感應電流為：I3=-

2B0Lv

R

．
金屬框內感應電流的i-t圖線如圖所示．
（3）線圈進入磁場時，cd邊克服安培力做的功：
W1=

B02L2v

R

?L=

B02L3v

R

．
線圈在磁場內運動時，cd邊克服安培力做功的功率為：
P=Fv=I2LBv=

B0Lv

2R

L(B0+k△t)v，其中k=

△B

△t

=

B0v

2L

．
此過程克服安培力做的功為：
W2=

.

P

t=

3B02L2v2

4R

×

2L

v

=

3B02L3v

2R

．
則有：W=W1+W2=

5B02L3

2R

．
答：（1）金屬框在進入磁場階段dc邊兩端的電勢差為

3

4

B0Lv．
（2）如圖所示．
（3）金屬框穿過磁場區域的過程中dc邊克服安培力做的功W為

5B02L3

2R

．

點評：本題考查了電磁感應與電路、圖象和能量的綜合，綜合性較強，這類題型是高考的熱點問題，需加強訓練．