Question

質量為m的鋼板與直立輕彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地上，平衡時，彈簧的壓縮量為x₀，如圖所示，一物塊從鋼板正上方距離為3x₀的A處自由落下，打在鋼板上并立刻與鋼板一起向下運動，但不粘連，它們到達最低點后又向上運動，已知物塊質量也為m時，它們恰能回到O點，若物塊質量為2m，仍從A處自由落下，則物塊與鋼板回到O點時，還具有向上的速度，求物塊向上運動到達最高點O點的距離．

Answer 1

分析：分析物體的運動過程：物塊先自由下落，機械能守恒．物塊與鋼板碰撞時，因碰撞時間極短，系統所受外力遠小于相互作用的內力，遵守動量守恒定律．碰撞后，彈簧、物塊與鋼板組成的系統機械能守恒．由題碰撞后，物塊與鋼板回到O點時，此時彈簧的彈性勢能與未碰撞時相等．根據動量守恒定律、機械能守恒定律和相等的條件分別研究物塊質量為m和2m的情況，再求解物塊向上運動到達最高點O點的距離．

解答：解：物塊與鋼板碰撞時的速度由機械能守恒，得
   v0=

6gx0

               ①
設v₁表示質量為m的物塊鋼板碰撞后一起向下運動的速度，因碰撞時間極短，系統所受外力遠小于相互作用的內力，符合動量守恒，故有
mv₀=2mv₁      ②
設剛碰完時彈簧的彈性勢能為Ep，當他們一起回到O點時，彈簧無形變，彈簧勢能為零，根據題意，由機械能守恒得   
   Ep+

1

2

(2m)

v

2 1

=2mgx0      ③
設v₂表示質量為2m的物塊與鋼板碰后開始一起向下運動的速度，由動量守恒，則有
   2mv₀=3mv₂        ④
設剛碰完時彈簧勢能為Ep′，它們回到O點時，彈性勢能為零，但它們仍繼續向上運動，設此時速度為v₂，則由機械能守恒定律得
   

E

/ p

+

1

2

(3m)

v

2 2

=3mgx0+

1

2

(3m)v2   ⑤
在上述兩種情況下，彈簧的初始壓縮量都是x₀，故有E_p′=E_p     ⑥
當質量為2m的物塊與鋼板一起回到O點時，彈簧的彈力為零，物塊與鋼板只受到重力的作用，加速度為g，一過O點，鋼板受到彈簧向下的拉力作用，加速度大于g，由于物塊與鋼板不粘連，物塊不可能受到鋼板的拉力，其加速度仍為g，方向向下，故在O點物塊與鋼板分離．分離后，物塊以速度v豎直上升，由豎直上拋最大位移公式得h=

v 2

2g

，而v=

gx0

所以物塊向上運動到達的最高點距O點的距離h=

x0

2

．

點評：此題涉及的物理過程有四個，用到的物理規律和公式有四個，它將動量守恒和機械能守恒完美地統一在一起，交替使用，可以說是一道考查考生能力的好試題．