Question

地球上空有人造地球同步通訊衛星，它們向地球發射微波．但無論同步衛星數目增到多少個，地球表面上總有一部分面積不能直接收到它們發射來的微波，請導出這個面積S與地球表面積S₀之比的數學表達式．已知地球半徑R₀，地球表面的重力加速度g，半徑為R、高為h的球冠的表面積為S₁=2πRh，球的表面積為S=4πR²）

Answer 1

分析：同步衛星總是在赤道上空，其高度也是一定的．由它畫一條到地球表面的切線，可見兩極周圍的區域內就收不到微波通訊．
根據萬有引力提供向心力和數學幾何關系求解．

解答：解：因為同步衛星總是在赤道上空，其高度也是一定的．由它畫一條到地球表面的切線，可見兩極周圍的區域內就收不到微波通訊．以m、M分別表示衛星和地球的質量，r表示衛星到地心的距離，T表示地球的自轉周期，則對地球上質量為m₀的物體有：
    G

m0M

R02

=m0g①
對地球同步衛星有G

mM

r2

=m(

2π

T

)2r②
又根據幾何關系有rsinθ=R₀③
以S′表示某個極周圍收不到微波區域的面積，則S′=2π

R

0

h
其中高為h=R₀（1-cosθ）    ④
又地球表面積S₀=4π

R

2 0

地球有兩個極，因而接收不到微波區域的面積與地球表面積S₀之比為：

S

S0

=

2S′

S0

=(1-cosθ)=1-

1-( 4π2R2 gT2 ) 1 3

答：面積之比為：1-

1-( 4π2R2 gT2 ) 1 3

點評：解決該題關鍵要根據題意找出收不到微波區域的面積，善于把物理問題與數學幾何圖形結合運用