Question

6．如圖所示，勻強磁場垂點于紙面向外，磁場的邊界ab、cd平行．現有一帶電量為+q的粒子沿紙面從ab邊界的某點P射入磁場，粒子速度大小為v₀，方向與ab邊界成θ=30°角．粒子從cd邊界射出時，速度方向與cd邊界垂直，已知磁感應強度大小為B，區域足夠大，粒子質量為m，不計粒子所受重力．求：
（1）粒子從P點剛進入磁場時所受洛倫茲力的大小，并在圖中畫出方向；
（2）磁場的邊界ab、cd的距離及粒子穿越磁場的時間．

Answer 1

分析 （1）根據洛倫茲力公式f=qvB求洛倫茲力大小，由左手定則判斷洛倫茲力方向；
（2）根據洛倫茲力提供向心力求出半徑和周期表達式，由幾何關系找出半徑與邊界距離關系，聯立方程可求出邊界距離；由公式$t=\frac{θ}{2π}T$或$t=\frac{θ°}{360°}T$秋李子在磁場中運動的時間．

解答 解：（1）粒子從P點剛進入磁場時洛倫茲力大小為：${f}_{洛}^{\;}=q{v}_{0}^{\;}B$
洛倫茲力方向如圖所示
（2）畫出粒子在磁場中的運動軌跡，如圖所示，根據幾何關系，圓弧所對的圓心角為60°，設ab、cd間的距離為d，則有：
$sin60°=\fracp9vv5xb5{R}$…①
根據洛倫茲力提供向心力，有：
$q{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
得$R=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$…②
聯立①②得：$d=\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{\;}}{2qB}$
粒子運動的周期為：$T=\frac{2πR}{{v}_{0}^{\;}}=\frac{2πm}{qB}$
粒子在磁場中運動的時間為：$t=\frac{60°}{360°}T=\frac{1}{6}×\frac{2πm}{qB}=\frac{πm}{3qB}$
答：（1）粒子從P點剛進入磁場時所受洛倫茲力的大小$q{v}_{0}^{\;}B$，方向如上圖；
（2）磁場的邊界ab、cd的距離$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{\;}}{2qB}$及粒子穿越磁場的時間$\frac{πm}{3qB}$．

點評 本題解題的關鍵在于畫出粒子運動軌跡，分析粒子圓周運動周期與磁場變化周期的關系．粒子圓周運動的時間往往根據軌跡的圓心角與周期的關系確定，t=$\frac{θ}{2π}$T，θ為轉過的圓心角