Question

如圖所示，絕緣板MN上有一小孔D，DM長度為L．MN上方有場強為E的勻強電場，電場方向豎直向下，絕緣板MN上下方有磁感應強度相同的勻強磁場，方向垂直紙面向外．MN下方是磁場的邊界線MP與板MN成30°角的有界磁場．ab是一根長度為L絕緣細桿，沿電場線放置在小孔的正上方的場中，b端恰在D處．將一套在桿上的帶正電的小球從a端由靜止釋放后，小球先做加速運動，后做勻速運動到達b端，再從缺口處進入，小球進入MN下方磁場后圓周運動軌跡恰與MP相切，已知小球與絕緣桿間的動摩擦因數為μ=0.3，小球重力忽略不計．小球與板MN接觸后不再反彈．
求此帶電小球從a端由靜止釋放后運動到達b端過程中電場力所做的功W_電與克服摩擦力所做的功W_f的比值．

Answer 1

分析：根據小球在桿上勻速運動受力平衡，可求得電場表達式，作出小球在下方磁場中的軌跡圖，結合幾何關系可求得小球的速度
利用電場力做功和動能定理聯立可求得電場力做功和摩擦力做功的表達式，從而可求得二者之比．

解答：解：小球在桿上勻速運動時受力分析如圖1所示，設小球在桿上勻速運動的速度為v，磁感應強度為B，電量是q，根據共點力平衡有：
F_電=qE=f _摩
F_洛=qvB=N _壓
而 f _摩=μN_壓
由以上幾式解得：qE=μqvB，得：E=μvB
小球進入下方磁場后圓周運動軌跡恰與MP相切，軌跡圓的圓心為O，如圖2所示．

由幾何關系有：2r=L-r
解得軌跡圓半徑r=

1

3

L
又由：qvB=

mv2

r

 得：v=

qBL

3m

小球從a到b過程中，W電-Wf=

1

2

mv2
W_電=qEL=qμvBL=

μq2B2L2

3m

=

q2B2L2

10m

W_f=W_電-

1

2

mv2=

q2B2L2

22.5m

故可得：W_電：W_f=9：4
答：電場力所做的功W_電與克服摩擦力所做的功W_f的比值為9：4．

點評：本題關鍵明確小球勻速運動時的受力狀態及在磁場中運動的軌跡，結合幾何關系，根據功的公式和動能定理的綜合應用，綜合性強．