Question

坐標原點O處有一放射源，它向xOy平面內的x軸下方各個方向發射速度大小都是v₀的α粒子．α粒子的質量為m、電量為q；在0＜y＜d的區域內分布有指向y軸正方向的勻強電場，在y≥d的區域內分布有垂直于xOy平面向里的勻強磁場，磁感應強度B=

4mv0

qd

，ab為一塊很大的平面感光板，在磁場內平行于x
軸放置，如圖所示．測得進入磁場的α粒子的速率均為2v₀，觀察發現此時恰好無粒子打到ab板上．（α粒子的重力忽略不計）
（1）求電場強度的大小；
（2）求感光板到x軸的距離；
（3）磁感應強度為多大時所有粒子均能打到板上？并求出此時ab板上被α粒子打中的區域的長度．

Answer 1

分析：（1）根據動能定理求出電場強度大小．
（2）粒子沿x軸正方向射出的粒子進入磁場偏轉的角度最大，若該粒子進入磁場不能打在ab板上，則所有粒子均不能打在ab板上．根據帶電粒子在電場中類平拋運動，求出進入磁場中的偏轉角度，結合幾何關系得出軌道半徑，從而得出感光板到x軸的距離．
（3）沿x軸負方向射出的粒子若能打到ab板上，則所有粒子均能打到板上．其臨界情況就是此粒子軌跡恰好與ab板相切．根據帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑大小得出磁場的寬度，從而確定出ab板移動的位置，根據幾何關系求出ab板上被α粒子打中的區域的長度．

解答：解：（1）根據動能定理：Eqd=

1

2

mv_t²-

1

2

mv₀²
由于v_t=2v₀，可得：場強大小為E=

3mv02

2qd

；
（2）對于沿x軸負方向射出的粒子進入磁場時與x軸負方向夾角θ=

π

3

易知若此粒子不能打到ab板上，則所有粒子均不能打到ab板，因此此粒子軌跡必與ab板相切，

設半徑為r，
根據洛倫茲力提供向心力：qv_tB=m

vt2

r

得：r=

1

2

d
則y=1.5r+d=

7d

4

；
（3）易知沿x軸正方向射出的粒子若能打到ab板上，則所有粒子均能打到板上，其臨界情況就是此粒子恰好與ab板相切，

設半徑為r′，
由幾何知識：r′（1-cosθ）=

3d

4

=1.5r
qv_tB′=m

vt2

r

磁感應強度為原來的

1

3

，解得：B′=

4mv0

3qd

恰好所有粒子均能打到板上，
其在電場中沿x軸方向的位移x₁=v₀t=v₀

2d ( Eq m )

=

2 3 d

3

ab板上被打中區域的長度L=2x₁+r′=

4 3 d

3

+

3d

2

答：（1）電場強度的大小

3mv02

2qd

；
（2）感光板到x軸的距離

7d

4

；
（3）磁感應強度為

4mv0

3qd

時所有粒子均能打到板上，此時ab板上被α粒子打中的區域的長度

4 3 d

3

+

3d

2

．

點評：本題考查了帶電粒子在電場和磁場中的運動，關鍵確定粒子運動的臨界情況，通過幾何關系解決，對學生數學幾何能力要求較高．