Question

（2004?南通模擬）如圖所示，在xoy平面內，第I象限中有勻強電場，場強大小為E，方向沿y軸正方向，在x軸的下方有勻強磁場，磁感強度大小為B，方向垂直于紙面向里，今有一個質量為m，電荷量為e的電子（不計重力），從y軸上的P點以初速度v₀垂直于電場方向進入電場．經電場偏轉后，沿著與x軸正方向成45°進入磁場，并能返回到原出發點P．求：
（1）作出電子運動軌跡的示意圖，并說明電子的運動情況．
（2）P點離坐標原點的距離h．
（3）電子從P點出發經多長時間第一次返回P點？

Answer 1

分析：（1）分析電子的運動情況：電子從P到A，受到豎直向下的電場力而做類平拋運動（或勻變速曲線運動）；進入磁場從A到C再到D，做勻速圓周運動；離開磁場從D到P，做勻速直線運動． 畫出軌跡．
（2）電子在電場中做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運動．在A點電子的速度與x軸成45°角，則知電子經過A點的速度為v=

2

v0．根據動能定理研究電子從P到A的過程，可求出h．
（3）分三段研究電子運動的時間：1、電子在電場中，由豎直方向的分速度v_y=v₀=at₁，而a=

eE

m

求出時間t₁．2、電子在磁場中，畫出軌跡，由幾何知識確定出軌跡對應的圓心角θ，由t₂=

θ

2π

T求出時間t₂.3、電子從D到P做勻速運動，由t₃=

. DP

v

求出t₃，即可求出總時間．

解答：解：（1）電子運動的軌跡示意圖如右圖所示，電子進入電場從P到A，做類平拋運動（或勻變速曲線運動）；進入磁場從A到C再到D，做勻速圓周運動；離開磁場從D到P，做勻速直線運動． 
（2）電子經過A點的速度大小：v=

v0

cos45°

=

2

v0       
電子從P到A過程，由動能定理得：eEh=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

       
解得，h=

m v 2 0

2Ee

                                      
（3）電子從P到A的過程，加速度為 a=

eE

m

，時間為 t₁=

vy

a

=

v0

a

=

mv0

eE

                   
從A到C再到D，由洛侖茲力提供向心力，
則有  Bev=m

v2

R

，得R=

mv

eB

周期為 T=

2πR

v

=

2πm

Be

，
由幾何知識得：電子在磁場中運動過程速度的偏向角為270°
則電子在磁場中運動的時間為 t₂=

3

4

T=

3πm

2Be

           
從D到P的運動過程：由幾何知識得：

.

DP

=

2

h
運動時間為：t₃=

. DP

v

=

2 h

v

=

2 ? m v 2 0 2Ee

2 v0

=

mv0

2Ee

            
故t=t₁+t₂+t₃=

3mv0

2Ee

+

3πm

2Be

答：
（1）作出電子運動軌跡的示意圖如圖，電子的運動情況是電子進入電場從P到A，做類平拋運動（或勻變速曲線運動）；進入磁場從A到C再到D，做勻速圓周運動；離開磁場從D到P，做勻速直線運動．
（2）P點離坐標原點的距離h是

m v 2 0

2Ee

．
（3）電子從P點出發經過

3mv0

2Ee

+

3πm

2Be

時間第一次返回P點．

點評：電子在電場中做類平拋運動的研究方法是運動的分解，而磁場中圓周運動的研究方法是畫軌跡，都常用的思路，難度不大．