Question

如圖所示，懸掛在豎直平面內O點的一個木質小球（可以看成質點），懸線長為L，小球的質量為M．一顆質量為m的子彈，以水平速度v₀射入木球且留在其中，隨即木球就在豎直平面內運動起來．
（1）若v₀大小已知，求在子彈擊中木球的過程中系統損失的機械能；
（2）若v₀大小未知，木球在豎直平面內運動過程中懸線始終不發生松馳，子彈速度v₀應滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）子彈在射擊木球的過程中，子彈和木球在水平方向上動量守恒，機械能的損失量等于子彈的初動能減去子彈和木塊的末動能；
（2）要使木球在豎直平面內運動過程中懸線始終不發生松馳，木球運動有兩種情況：一是木球運動速度較大時將做完整圓周運動，二是木球速度較小時做不完整圓周運動（即擺動）．根據牛頓第二定律求出在最高點的最小速度，再根據機械能守恒定律求出子彈與木球在最低點的最小速度，最后通過動量守恒定律求出子彈做完整圓周運動的最小初速度．
由機械能守恒定律求得子彈做不完整圓周運動最大速度．

解答：解：（1）子彈在射擊木球的過程中，子彈和木球在水平方向上動量守恒，設二者最終在水平方向的速度為v，
由動量守恒定律得：mv₀=（m+M）v …①
損失的機械能為△E，則有：△E=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

(m+M)

v

2

…②
由①、②得：△E=

Mmv02

2(m+M)

…③
（2）要使木球在豎直平面內運動過程中懸線始終不發生松馳，木球運動有兩種情況：
一是木球運動速度較大時將做完整圓周運動，二是木球速度較小時做不完整圓周運動（即擺動）．
在做完整圓周運動時：小球從最低點運動到最高點過程中機械能守恒．設小球在最高點時的速度為v′，
有：

1

2

(m+M)v2=(m+M)g?2L+

1

2

(m+M)v/2…④
若要使繩不發生松馳，則須  v/≥

gL

…⑤
由①、④、⑤得v0≥

5gL

(

M+m

m

)…⑥
若做不完整的圓周運動，小球最高只能擺至與懸掛點等高的水平位置，小球從最低點擺至速度等于零的位置，
由機械能守恒定律得：

1

2

(m+M)v2≤(m+M)gL…⑦
由①、⑦得：v0≤

2gL

(

M+m

m

)…⑧
答：（1）若v₀大小已知，在子彈擊中木球的過程中系統損失的機械能是

Mmv02

2(m+M)

；
（2）若v₀大小未知，木球在豎直平面內運動過程中懸線始終不發生松馳，做完整圓周運動時v0≥

5gL

(

M+m

m

)，
做不完整的圓周運動v0≤

2gL

(

M+m

m

)．

點評：本題綜合考查了動量守恒定律、機械能守恒定律以及牛頓第二定律，關鍵理清整個運動過程，分過程求解．