Question

在空間中取坐標系Oxy，在第一象限內平行于y軸的虛線MN與y軸距離為d，從y軸到MN之間的區域充滿一個沿y軸正方向的勻強電場，電場強度大小為E，如圖所示．初速可忽略的電子經過一個電勢差U₀未確定的電場直線加速后，從y軸上的A點以平行于x軸的方向射入第一象限區域，A點坐標為（0，h）．不計電子的重力．
（1）若電子經過x軸時的坐標為（2d，0），求加速電場的電勢差U₀．
（2）加速電場的電勢差U₀不同，電子經過x軸時的坐標也不同．試寫出電子經過x軸時的坐標與加速電場的電勢差U₀的關系式．（只要求寫出結果，不需寫出過程）

Answer 1

分析：（1）根據動能定理求出電子進入勻強電場時的速度，在勻強電場中做類平拋運動，水平方向上做勻速直線運動，豎直方向上做初速度為零的勻加速直線運動，離開勻強電場后做勻速直線運動，將離開電場后的勻速直線運動仍然分解為水平方向和豎直方向，抓住水平位移和豎直位移關系，運用運動學公式進行求出加速電場的電勢差U₀．
（2）加速電場較小時，粒子的水平位移可能小于d，分兩種情況討論，粒子出電場經過x軸和粒子不出電場經過x軸．
不出電場時，粒子與x軸的坐標為類平拋運動的水平位移．出電場經過x軸時，求出類平拋運動出電場時豎直方向和水平方向的分速度，以及豎直方向上的位移，然后將出電場的運動分解為水平方向和豎直方向，通過等時性求出與x軸的坐標．

解答：解：（1）設電子的電荷量為e、質量為m，電子經過電場加速后獲得速度v₀．則eU0=

1

2

m

v

2 0

①
電子在勻強電場中運動，有d=v₀t②
a=

eE

m

③
y=

1

2

at2④
離開電場時，有v_y=at⑤
離開電場后勻速運動，有x'=d=v₀t'⑥
y'=h-y=v_yt'⑦
由以上各式解得加速電場的電勢差U0=

3Ed2

4h

⑧
（2）U≤

Ed2

4h

時，x=2

U0h E

⑨
U＞

Ed2

4h

時，x=

d

2

+

2U0h

Ed

⑩
答：（1）加速電場的電勢差U0=

3Ed2

4h

．
（2）電子經過x軸時的坐標與加速電場的電勢差U₀的關系式為U≤

Ed2

4h

時，x=2

U0h E

，U＞

Ed2

4h

時，x=

d

2

+

2U0h

Ed

．

點評：解決本題的關鍵理清帶電粒子的運動過程，先在加速電場中做加速運動，然后做類平拋運動，最后做勻速直線運動．在處理粒子運動時將類平拋運動和勻速直線運動都分解為水平方向和豎直方向．