Question

宇宙飛船在受到星球的引力作用時，宇宙飛船的引力勢能大小的表達式為Ep=-

GMm

R

，式中R為此星球球心到飛船的距離，M為星球的質量，m為宇宙飛船的質量，G為萬有引力恒量．現有一質量m=10⁴kg的宇宙飛船從地球表面飛到月球，則：
（1）寫出宇宙飛船在地球表面時的引力勢能表達式（不要計算出數值，地球質量為M_地、月球質量為M_月）．
（2）宇宙飛船在整個飛行過程中至少需做多少功？
（已知月球表面重力加速度為地球表面重力加速度的

1

6

，地球半徑R_地=6.4×10⁶m，月球半徑R_月=1.7×10⁶m，月球到地球距離R_地月=3.8×10⁸m（提示：R_地月＞＞R_地，R_地月＞＞R_月）．

Answer 1

分析：（1）根據萬有引力勢能的表達式求解．
（2）求出宇宙飛船在月球表面時的引力勢能，根據能量守恒，表示出需做功．根據根據在地面附近物體受到地球的萬有引力近似等于物體在地面上的重力，列出等式進行替換．

解答：解：（1）宇宙飛船在地球表面時的引力勢能：
E_p1=-

GM地m

R   地

-

GM月m

R地月-R   地

（2）宇宙飛船在月球表面時的引力勢能：
E_p2=-

GM月m

R   月

-

GM地m

R地月-R   月

所以需做功：
W=E_p2-E_p1=Gm（-

M月

R   月

-

M地

R地月-R   月

+

M地

R   地

+

M月

R地月-R   地

）          
由于R_地月＞＞R_地，R_地月＞＞R_月
W=Gm（-

M月

R   月

+

M地

R   地

+

M地-M月

R地月

）                        ①
由

GM地m

R 2 地

=mg，②
同理可得GM_月=

1

6

g

R

2 月

                                      ③
代入上式，得：
W=m（-

1

6

g

R

月

+g

R

地

-

gR 2 地

R   地月

+

gR 2 月

6R   地月

）                       
=5.89×10¹¹J                                               
答：（1）寫出宇宙飛船在地球表面時的引力勢能表達式是E_p1=-

GM地m

R   地

-

GM月m

R地月-R   地

．
（2）宇宙飛船在整個飛行過程中至少需做5.89×10¹¹J 功．

點評：向心力的公式選取要根據題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應用．
運用黃金代換式GM=gR²求出問題是考試中常見的方法．
本題考查了多個知識點的應用，要能根據求解的問題選擇恰當的物理規律求解．