Question

如圖所示，半徑為R的

1

4

的光滑圓弧軌道豎直放置，底端與光滑的水平軌道相接，質(zhì)量為m₂的小球B靜止光滑水平軌道上，其左側(cè)連接了一輕質(zhì)彈簧，質(zhì)量為m₁的小球A自圓弧軌道的頂端由靜止釋放，重力加速度為g，試求：
（1）小球A撞擊輕質(zhì)彈簧的過程中，彈簧的最大彈性勢(shì)能為多少？
（2）要使小球A與小球B能發(fā)生二次碰撞，m₁與m₂應(yīng)滿足什么關(guān)系？

Answer 1

分析：（1）由機(jī)械能守恒定律可以求出A到達(dá)水平面的速度，當(dāng)兩球速度相等時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大，兩球碰撞過程中動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒，由動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律可以求出彈簧的最大彈性勢(shì)能．
（2）兩球分開后，A球的速度大于B球的速度時(shí)，兩球可以第二次相碰，由動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律可以求出兩球發(fā)生第二次相碰的條件．

解答：解：（1）設(shè)A球到達(dá)圓弧底端時(shí)的速度為v₀，
根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：mgR=

1

2

m

v

2 0

   ①，
當(dāng)A、B兩球速度相同時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大，設(shè)共同速度為v
根據(jù)動(dòng)量守恒定律有：m₁v₀=（m₁+m₂）v  ②，
根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：EPm=

1

2

m1

v

2 0

-

1

2

(m1+m2)v2  ③，
聯(lián)立①②③解得：EPm=

m1m2

m1+m2

gR，④
（2）設(shè)A、B碰撞后的速度分別為v₁和v₂，
根據(jù)動(dòng)量守恒定律有：m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂ ⑤，
根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：

1

2

m1

v

2 0

=

1

2

m1

v

2 1

+

1

2

m2

v

2 2

   ⑥，
聯(lián)立⑤⑥解得：v1=

m1-m2

m1+m2

v0v2=

2m1

m1+m2

v0，
要使A、B兩球能發(fā)生二次碰撞，必須滿足|v₁|＞v₂ ⑨，
則有：-

m1-m2

m1+m2

＞

2m1

m1+m2

  ⑩，
解得：m1＜

1

3

m2，（m₁+m₂＜0不符合事實(shí)，舍去）；
答：（1）小球A撞擊輕質(zhì)彈簧的過程中，彈簧的最大彈性勢(shì)能為

m1m2gR

m1+m2

．
（2）要使小球A與小球B能發(fā)生二次碰撞，m₁與m₂應(yīng)滿足的關(guān)系是m₁＜

1

3

m₂．

點(diǎn)評(píng)：分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用機(jī)械能守恒、動(dòng)量守恒定律即可正確解題．