Question

長為6L、質量為6m的勻質繩，置于特制的水平桌面上，繩的一端懸垂于桌邊外，另一端系有一個可視為質點的質量為M的木塊，如圖所示。木塊在AB段與桌面無摩擦，在BE段與桌面有摩擦，勻質繩與桌面的摩擦可忽略。初始時刻用手按住木塊使其停在A處，繩處于繃緊狀態，AB=BC=CD=DE=L，放手后，木塊最終停在C處。桌面距地面高度大于6L。

（1）求木塊剛滑至B點時的速度v和木塊與BE段的動摩擦因數μ；

（2）若木塊在BE段與桌面的動摩擦因數變為μ′=，則木塊最終停在何處？

（3）是否存在一個μ值，能使木塊從A處放手后，最終停在E處，且不再運動？若能，求出該μ值；若不能，簡要說明理由。

Answer 1

解：（1）木塊從A處釋放后滑至B點的過程中，由機械能守恒得

ΔE_ρM=ΔE_μM

即3mgL－2mgL=(M+6m)v²①

則木塊滑至B點時的速度v=②

木塊從A處滑至C點的過程中，由功能關系得

ΔE_g1=W_f1

即4mg2L－2mgL=μMgL③

由③式得μ=。④

（2）若μ′=＜a，設木塊能從B點向右滑動x最終停止，由功能關系得

ΔE_g2=W_f2

即－2mgL=μ′Mg⑤

將μ′=代入⑤式并整理得 2x²－9Lm+10Z²=0

解得x=2L（x=2.5L不合題意，舍去）

即木塊將從B點再滑動2L最終停在D處。

（3）不存在符合要求的μ值，即不可能使木塊從A處放手后最終停在E處且不再運動。

解法一：這是由于當μ=時，若木塊滑至E點，恰好有f=μMg=6mg，此時繩全部懸于桌邊外，對木塊的拉力恰好也為6mg，而從（2）的結果知，要使木塊繼續向E點滑行，必須再減小μ值 ，因而木塊尚未滑至E點時，木塊所受滑動摩擦力已與懸繩拉力相等，此時，再向E點滑行時，懸繩對木塊拉力將大于木塊受到的滑動摩擦力而使合力向右，木塊又重新獲得加速度。因此不可能保持靜止狀態。

解法二：設滿足此條件的動摩擦因數為μ″,根據ΔE_g3=W_f3，有：

6mg·3L－2mg·L=Mμ″·mg·3L,可得μ″=,可得μ″=，

因為μ″＞μ′，所以滿足此條件的動摩擦因數不存在。