Question

10．2014年10月8日，月全食帶來的“紅月亮”亮相天空，引起人們對月球的關注．我國發(fā)射的“嫦娥三號”探月衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道繞行n圈所用時間為t，如圖所示．已知月球半徑為R，月球表面處重力加速度為g_月，引力常量為G．試求月球的第一宇宙速度v₁和“嫦娥三號”衛(wèi)星離月球表面高度h．

Answer 1

分析 （1）在月球表面的物體受到的重力等于萬有引力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}={mg}_{月}$，化簡可得月球的質量．根據萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，可計算出近月衛(wèi)星的速度，即月球的第一宇宙速度．
（2）根據萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，結合周期和軌道半徑的關系，可計算出衛(wèi)星的高度．

解答 解：（1）設月球的質量為M，月球表面處引力等于重力，$G\frac{Mm}{{R}^{2}}={mg}_{月}$
第一宇宙速度為近月衛(wèi)星運行速度，由萬有引力提供向心力
得$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
所以月球第一宇宙速度${v}_{1}=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{{g}_{月}R}$
（2）衛(wèi)星做圓周運動，由萬有引力提供向心力
得$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$
衛(wèi)星周期$T=\frac{t}{n}$
軌道半徑r=R+h
解得h=$\root{3}{\frac{{g}_{月}{R}^{2}{t}^{2}}{4{n}^{2}{π}^{2}}}-R$
答：（1）月球的第一宇宙速度為$\sqrt{{g}_{月}R}$；
（2）“嫦娥三號”衛(wèi)星離月球表面高度為$\root{3}{\frac{{g}_{月}{R}^{2}{t}^{2}}{4{n}^{2}{π}^{2}}}-R$．

點評 本題要掌握萬有引力提供向心力和重力等于萬有引力這兩個重要的關系，要能夠根據題意選擇恰當的向心力的表達式．