Question

如圖所示，A表示地球，它的半徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為ω₁，表面重力加速度為g，一人造衛(wèi)星B在赤道平面內(nèi)繞圓軌道運(yùn)行，離地面的離度為H，求：
①衛(wèi)星B的運(yùn)動(dòng)角速度ω₂．
②假設(shè)衛(wèi)星B繞行方向與地球的自轉(zhuǎn)方向相同，某時(shí)刻地球的同步衛(wèi)星正好在B的正上方離B最近，那么從這一時(shí)刻起，還要最少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，B能運(yùn)動(dòng)到同步衛(wèi)星的正下方和同步衛(wèi)星最近？

Answer 1

分析：（1）衛(wèi)星B做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由A對(duì)它的萬(wàn)有引力提供，由萬(wàn)有引力公式及向心力公式列方程即可求出衛(wèi)星的角速度．
（2）衛(wèi)星B與同步衛(wèi)星轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角之差等于2π弧度時(shí)，B能再次運(yùn)動(dòng)到同步衛(wèi)星的正下方和同步衛(wèi)星最近．

解答：解：（1）設(shè)地球A的質(zhì)量是M，衛(wèi)星B的質(zhì)量為m，
衛(wèi)星B繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=R+H，
衛(wèi)星B做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由A對(duì)它的萬(wàn)有引力提供，
由牛頓第二定律可得：G

Mm

(R+H)2

=mω₂²（R+H）①，
地球表面的物體m′受到的重力等于地球?qū)λ�的萬(wàn)有引力，
即：m′g=G

Mm′

R2

   ②，
由①②解得：ω₂=R

g (R+H)3

   ③；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t，B能再次運(yùn)動(dòng)到同步衛(wèi)星的正下方和同步衛(wèi)星最近，
此時(shí)衛(wèi)星B與同步衛(wèi)星轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角之差等于2π弧度，
即：ω₂t-ω₁t=2π   ④，
由③④解得：t=

2π

R g (R+H)3 -ω1

；
答：（1）衛(wèi)星B的運(yùn)動(dòng)角速度ω₂=R

g (R+H)3

．
（2）經(jīng)過(guò)時(shí)間

2π

R g (R+H)3 -ω1

B能運(yùn)動(dòng)到同步衛(wèi)星的正下方和同步衛(wèi)星最近．

點(diǎn)評(píng)：知道萬(wàn)有引力提供向心力，熟練應(yīng)用萬(wàn)有引力公式與向心力公式列方程即可求出衛(wèi)星的角速度；知道兩衛(wèi)星轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角之差是2π弧度是正確解答第二問(wèn)的關(guān)鍵．