Question

如圖，豎直放置的斜面AB的下端與光華圓弧軌道BCD的B端相切，圓弧半徑為R，圓心與A、D在同一水平面上，∠COB=θ，現有一個質量為m的小物塊P從斜面上的A點無初速滑下，與位于B點的另外一個質量也為m的小物塊Q碰撞，碰后，兩個物塊粘連在一起，已知兩個小物塊與斜面間的動摩擦因數均為μ，求：
（1）粘連體在斜面上運動的路程．
（2）粘連體通過C點時，對C點的最大壓力和最小壓力．（兩個小物體均可視為質點）

Answer 1

分析：（1）由幾何知識得知，斜面的傾角等于θ．物體從A點無初速度滑下后，由于克服摩擦力做功，物體在斜面上運動時機械能不斷減小，到達的最大高度越來越小，最終在BE圓弧上來回運動，到達B點的速度為零．物體在斜面上運動時摩擦力大小為μ2mgcosθ，總是做負功，滑動摩擦力做的總功與總路程成正比，根據動能定理求解總路程．
（2）當物體第一次經過C點時，速度最大，對C點的壓力最大，當最后穩定后，物體在B點之下運動時，經過C點時速度最小，物體對C點的壓力最小，根據動能定理求出最大速度和最小速度，再由牛頓運動定律求解最大壓力和最小壓力．

解答：解：（1）P滑到B點過程中重力和摩擦力做功，物體的動能增大：
由幾何關系知，P下滑的高度：h=Rcosθ；斜面與水平面的夾角為θ；
設B點以上的斜面長為s，則：s=

h

sinθ

=

R

tanθ

由動能定理得：mgh-μmgscosθ=

1

2

mv2
聯立以上各方程，解得：v=

2R(gsinθ-μgcosθ) tanθ

到B點與Q發生完全碰撞，由于碰撞的時間短，可以認為碰撞的過程中動量守恒，則：mv=2mv′
由于克服摩擦力做功，物體在斜面上運動時機械能不斷減小，到達的最大高度越來越小，
最終粘連體在圓弧上角度為2θ范圍內做往復運動，故最終粘連體在B點速度為0
由動能定理：

1

2

?2mv′2=μ?2mcosθ?S0
代入數據解得：S0=

R(sinθ-μcosθ)

4μtanθ

（2）第一次往返C點時壓力最大，設為F₁，對于PQ整體，B→C過程機械能守恒：

1

2

×2mv′2+2mgR(1-cosθ)=

1

2

×2m

v

2 c

…①
在C點：F1-2mg=2m?

v 2 c

R

…②
代入數據解得：F1=2mg+4mg(1-cosθ)+

2m

R

×

1

4

×2gR(sinθ-μcosθ)?cotθ=6mg-3mgcosθ-μmg

cos2θ

sinθ

當物體不能沖出B點時，再經過C點時的壓力最小，設在C點的最小壓力為F₂．
2mgR(1-cosθ)=

1

2

×2m

v

2 C1

…③
在C點：F2-2mg=2m?

v 2 C2

R

…④
代入數據解得：F₂=6mg-4mgcosθ
答：（1）粘連體在斜面上運動的路程為S0=

R(sinθ-μcosθ)

4μtanθ

；
（2）粘連體通過C點時，對C點的最大壓力為6mg-3mgcosθ-μmg

cos2θ

sinθ

，最小壓力為：6mg-4mgcosθ．

點評：本題是動能定理與牛頓運動定律的綜合應用，關鍵是分析物體的運動過程，抓住滑動摩擦力做功與路程有關這一特點．