Question

經過觀察，科學家在宇宙中發現了許多孤立的雙星系統．若雙星系統中每個星體的質量都是M，兩者相距為L（遠大于星體半徑），它們正繞兩者連線的中點做圓周運動．
①試計算雙星系統中的運動周期T_計算；
②若實際觀察到的運動周期為T_觀測，且T_觀測：T_計算=1：

N+1

（N＞1），為了解釋T_觀測與T_計算的不同，目前理論認為，宇宙中可能存在觀察不到的暗物質，假定有一部分暗物質對雙星運動產生影響，該部分物質的作用等效于暗物質集中在雙星的連線的中點，試證明暗物質的質量M′與星體的質量M之比為 M′：M=N：4．

Answer 1

（1）以雙星系統中任一星球為研究對象，根據牛頓第二定律得

GM2

L2

=M

4π2

T2

?

L

2

得到 T算=

2π2L3 GM

（2）設暗物質的總質量為m，由牛頓第二定律得

GM2

L2

+

GMM′

( L 2 )2

=M

4π2

T 2測

?

L

2

解得：T測=

2π2L3 GM+4GM′

故：

T測

T算

=

GM GM+4GM′

=

M M+4M′

=

1 1+ 4M′ M

若：T_觀測：T_計算=1：

N+1

（N＞1），則：N=

4M′

M

即：M′：M=N：4．
答：（1）該雙星系統的運動周期 T算=

2π2L3 GM

 
    （2）略