Question

（2012?蚌埠模擬）經過觀察，科學家在宇宙中發現了許多孤立的雙星系統．若雙星系統中每個星體的質量都是M，兩者相距為L（遠大于星體半徑），它們正繞兩者連線的中點做圓周運動．
①試計算雙星系統中的運動周期T_計算；
②若實際觀察到的運動周期為T_觀測，且T_觀測：T_計算=1：

N+1

（N＞1），為了解釋T_觀測與T_計算的不同，目前理論認為，宇宙中可能存在觀察不到的暗物質，假定有一部分暗物質對雙星運動產生影響，該部分物質的作用等效于暗物質集中在雙星的連線的中點，試證明暗物質的質量M′與星體的質量M之比為 M′：M=N：4．

Answer 1

分析：（1）雙星繞兩者連線的中點做圓周運動，由相互之間萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律求解運動周期．
（2）假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內均勻分布著暗物質，由暗物質對雙星的作用與雙星之間的萬有引力的合力提供雙星的向心力，再由牛頓第二定律求解周期T′．

解答：解：（1）以雙星系統中任一星球為研究對象，根據牛頓第二定律得

GM2

L2

=M

4π2

T2

?

L

2

得到 T算=

2π2L3 GM

（2）設暗物質的總質量為m，由牛頓第二定律得

GM2

L2

+

GMM′

( L 2 )2

=M

4π2

T 2 測

?

L

2

解得：T測=

2π2L3 GM+4GM′

故：

T測

T算

=

GM GM+4GM′

=

M M+4M′

=

1 1+ 4M′ M

若：T_觀測：T_計算=1：

N+1

（N＞1），則：N=

4M′

M

即：M′：M=N：4．
答：（1）該雙星系統的運動周期 T算=

2π2L3 GM

 
    （2）略

點評：本題是雙星問題，要抓住雙星系統的條件：角速度與周期相同，運用牛頓第二定律采用隔離法進行研究．