Question

18．公元2100年，航天員準備登陸木星，為了更準確了解木星的一些信息，到木星之前做一些科學實驗，當到達與木星表面相對靜止時，航天員對木星表面發射一束激光，經過時間t，收到激光傳回的信號，測得相鄰兩次看到日出的時間間隔是T，測得航天員所在航天器的速度為v，已知引力常量G，激光的速度為c，則（　　）

• A． 木星的質量M=$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$
• B． 木星的質量M=$\frac{{π}^{2}{c}^{3}{t}^{3}}{2G{T}^{2}}$
• C． 木星的質量M=$\frac{4{π}^{2}{c}^{3}{t}^{3}}{G{T}^{2}}$
• D． 根據題目所給條件，可以求出木星的密度

Answer 1

分析 結合激光的速度以及來回的時間求出航天器的軌道半徑，根據萬有引力提供向心力，結合周期或線速度求出木星的質量．

解答 解：A、由題意知，航天器的軌道半徑r＞$\frac{ct}{2}$，根據$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，木星的質量M=$\frac{{v}^{2}r}{G}≠\frac{{v}^{2}ct}{2G}$．
由題意知，航天器的周期為T，則r=$\frac{vT}{2π}$，代入$M=\frac{{v}^{2}r}{G}$，解得M=$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$，
根據$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$=$\frac{2{π}^{2}{c}^{3}{t}^{3}}{G{T}^{2}}$，故A正確，B、C錯誤．
D、航天員與木星表面間的距離s=$\frac{ct}{2}$，則木星的半徑R=r-s，所以可有求出木星的體積，結合木星的質量得出木星的密度．故D正確．
故選：AD．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，本題已知線速度、周期，軌道半徑可以求出，可以結合線速度求解，也可以結合周期進行求解．