Question

8．如圖所示，一半徑為R的光滑圓形細管，固定于豎直平面內，放置于管內最低處的小球以初速度v₀沿管內運動，欲使小球通過管的最高點，且小球在最高點時對管壁有向下的壓力，求v₀必須滿足的條件．

Answer 1

分析 若小球在最高點時對管壁有向下的壓力，則管壁對小球有向上的支持力，則小球所受重力和支持力的合力提供向心力，小球的速度再根據從最低點到最高點的過程中，只有重力做功，由機械能守恒即可求解范圍．

解答 解：在最高點小球的重力和管壁對小球的支持力提供向心力，則有：
mg-T=$\frac{{v}^{2}}{R}$，
當T=0時，速度最大，解得：
v=$\sqrt{gR}$
所以當0≤v＜$\sqrt{gR}$時，小球在最高點時對管壁有向下的壓力，從最低點到最高點的過程中，只有重力做功，由機械能守恒得：
$\frac{1}{2}$mv₀²=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv² 
當v=0時，解得：${v}_{0}=2\sqrt{gR}$，
當v=$\sqrt{gR}$時，解得：${v}_{0}=\sqrt{5gR}$
所以v₀的范圍為：$2\sqrt{gR}$≤v₀＜$\sqrt{5gR}$
答：v₀必須滿足的條件為$2\sqrt{gR}$≤v₀＜$\sqrt{5gR}$．

點評 本題主要考查了機械能守恒定律、圓周運動向心力公式的直接應用，知道雙軌道模型，軌道對小球既能提供支持力，又能提供拉力，難度適中．