Question

9．西昌衛星發射中心用長征三號丙運載火箭，成功將“天鏈一號02星”送入太空．火箭飛行約26分鐘后，西安衛星測控中心傳來的數據表明，星箭分離，衛星成功進入地球同步轉移軌道．“天鏈一號02星”是我國第二顆地球同步軌道數據中繼衛星，又稱跟蹤和數據中繼衛星，由中國航天科技集團公司所屬中國空間技術研究院為主研制．中繼衛星被譽為“衛星的衛星”，是航天器太空運行的數據“中轉站”，用于轉發地球站對中低軌道航天器的跟蹤測控信號和中繼航天器發回地面的信息的地球靜止通信衛星．已知地球半徑R，地球表面的重力加速度g，地球自轉周期T，萬有引力常量為G，請你求出地球的密度和“天鏈一號02星”距地面的高度？

Answer 1

分析 根據再地面附近重力等于萬有引力列式；同步衛星做圓周運動，萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求解．

解答 解：（1）地面附近重力等于萬有引力：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$=mg，得$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$
密度公式：ρ=$\frac{M}{V}$
V_體=$\frac{4}{3}$πR³     
得：ρ=$\frac{3g}{4πRG}$
同步衛星受到的萬有引力提供向心力，故：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}r$
衛星的高度：h=r-R     
得：h=$\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$-R．
答：地球的密度為$\frac{3g}{4πRG}$，“天鏈一號02星”距地面的高度為$\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$

點評 萬有引力提供圓周運動的向心力、萬有引力和表面的重力大小相等，能根據題設條件列方程求解．