Question

設雨點下落過程受到的空氣阻力與雨點的橫截面積S成正比，與雨點下落的速度v的平方成正比，即f=kSv²（其中k為比例系數）．雨點接近地面時近似看做勻速直線運動，重力加速度為g．若把雨點看做球形，其半徑為r，球的體積為

4

3

πr³，設雨點的密度為ρ，求：（1）每個雨點最終的運動速度v_m（用ρ、r、g、k表示）；（2）雨點的速度達到

1

2

v_m時，雨點的加速度a為多大（用g表示）？

Answer 1

（1）當f=mg時，雨點達到最終速度v_m，則
kS

v

2m

=mg
故
kS

v

2m

=ρ

4

3

πr3g
解得
vm=

4ρrg 3k

           
即每個雨點最終的運動速度

4ρrg 3k

．                                  
（2）由牛頓第二定律得：mg-f=ma
則
mg-kS(

vm

2

)2=ma
解得
mg-

kS v 2m

4

=ma
故a=

3

4

g
即雨點的速度達到

1

2

v_m時，雨點的加速度a為

3

4

g．