Question

將一個動力傳感器連接到計算機上，我們就可以測量快速變化的力.如圖15所示就是用這種方法測得的小滑塊在半球形碗內在豎直平面來回滑動時，對碗的壓力隨時間變化的曲線，從這條曲線提供的信息，你能對小滑塊本身及其運動做出哪些推論和判斷？要求陳述得出這些推論和判斷的論證過程.

圖15

Answer 1

小滑塊在豎直平面內沿半球形碗內來回變速運動，若碗與小滑塊間的摩擦力以及空氣阻力不計，則在運動中小滑塊只受到兩個力：重力mg，方向豎直向下，故它的大小F應由題圖中的Ft圖線給出.根據機械能守恒可知，小滑塊運動到平衡位置O時速率最大，運動到偏離平衡位置最大處（即偏角最大處時），速率為零，再根據牛頓定律可知，在平衡位置處，小滑塊對碗底的壓力F最大，在偏角最大處，壓力最小.由牛頓第二定律，在平衡位置O點可建立方程：

F₀-mg=m                               ①

    其中F₀和v₀分別是小滑塊運動至平衡位置O時，小滑塊受到的支持力和速率，R是碗的半徑.在最大偏角A點可建立方程：

F_A-mgcosθ_A=0                             ②

    其中θ_A為最大偏角，F_A為小滑塊運動至最大偏角時所受支持力，由機械能守恒可有：

mv₀²=mgR(1-cosθ_A)                       ③

    由①②③式解得小滑塊的質量和最大偏角分別為：

m=                               ④

cosθ_A=                                         ⑤

    以上都是在不計摩擦及空氣阻力的情況下指出的，由題給的Ft圖線可以直接讀出以下的數據：

t=0.1 s時，小滑塊第一次運動到平衡位置O點，對碗的壓力F₀=1.60 N；

t=0.6 s時，小滑塊第一次到達最大偏角θ_A處，對碗的壓力F_A=0.07 N；

    代入④⑤得m=58 g，

cosθ_A=0.121，查表θ_A≈83°，

    從上面分析可以得出以下判斷：

（1）小球的質量m≈58 g；

（2）由于擺幅很大，故小球在碗中來回滑動雖近似是周期運動，但不是簡諧運動；

（3）小球在碗中來回滑動的周期為2.0 s；

（4）小球來回滑動的最大偏角是逐步減小的，可見小球在碗中的運動是有阻尼的周期運動，這說明碗對小球的摩擦以及空氣對小球運動的影響還是存在的.