Question

9．如圖所示，兩足夠長平行光滑的金屬導軌MN、PQ豎直放置，導軌間相距為l，電阻不計，磁感應強度為B的勻強磁場垂直導軌平面向里，長為l的金屬棒ab垂直于MN、PQ水平放置在導軌上，且始終與導軌接觸良好，金屬棒的質量為m、電阻為R，金屬導軌的上端連接阻值為2R的燈泡L，R_x為變阻箱，重力加速度為g．試求：
（1）保持電鍵斷開，金屬棒由靜止釋放，下滑過程中能達到的最大速度v_m；
（2）在（1）條件下，若金屬棒下滑距離為h時速度恰好達到最大，此過程中，整個電路產生的焦耳熱Q_熱
（3）保持電鍵閉合，調節(jié)變阻箱R_x的阻值，當R_x為何值時，金屬棒處于勻速運動的過程中R_x消耗的功率最大．

Answer 1

分析 金屬棒在磁場中沿豎直導軌下滑，在重力的作用下加速運動，由于切割磁感線產生感應電流而受到安培力，當安培力增大到與重力相等時，速度達到最大．
（1）分別表示出感應電動勢E、感應電流I、安培力F，當安培力等于重力時，速度最大．將上述式子代入平衡條件，就能求出最大速度．
（2）求出最大速度、那么機械能的減少量就能表示出來，它的大小就是整個電路產生的焦耳熱．
（3）至于R_x上消耗的電功率問題，先由電路的知識寫出R_x上電功率的表達式，再由數學關系就能判別出取最大功率的R_x的值．

解答 解：（1）金屬棒下滑過程中做加速度減小的加速運動，當加速度為零時，速度達到最大，此時：
$mg=B•\frac{E}{R+2R}•l$…①
而    E=Blv_m…②
  聯(lián)立兩式得到：${v}_{m}=\frac{3mgR}{{B}^{2}{l}^{2}}$    
 （2）當速度達到最大v_m 時，金屬棒下滑的距離為h，此過程據能量守恒定律得：
$mgh-\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}=Q$…③
代入得到：Q=$mgh-\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{l}^{4}}$  
（3）當電鍵閉合時，金屬棒勻速下滑，此時其中電流為I，
由平衡條件有：mg=BIl…④
由關聯(lián)電路電流分配規(guī)律：${I}_{x}=\frac{{R}_{L}}{{R}_{x}+{R}_{L}}I$…⑤
由電功率公式得：${P}_{x}={{I}_{x}}^{2}{R}_{x}$…⑥
代入得到：${P}_{x}=（\frac{2mgR}{Bl}）^{2}\frac{{R}_{x}}{（{R}_{x}+2R）^{2}}$=$（\frac{2mgR}{Bl}）^{2}\frac{1}{{R}_{x}+4R+\frac{4{R}^{2}}{{R}_{x}}}$．
由數學知識知道，當${R}_{x}=\frac{4{R}^{2}}{{R}_{x}}$時，即R_x=2R，P_x有最大值．
答：（1）保持電鍵斷開，金屬棒由靜止釋放，下滑過程中能達到的最大速度為$\frac{3mgR}{{B}^{2}{l}^{2}}$．
（2）在（1）條件下，若金屬棒下滑距離為h時速度恰好達到最大，此過程中，整個電路產生的焦耳熱為$mgh-\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{l}^{4}}$．
（3）保持電鍵閉合，調節(jié)變阻箱R_x的阻值，當R_x等于2R時，金屬棒處于勻速運動的過程中R_x消耗的功率最大．

點評 本題的關鍵點有兩個：①最大速度求出來后，機械能的減少量就能求出，由能量守恒就可得出電路產生的焦耳熱．②再閉合開關后，是兩個電阻并聯(lián)的電路，求其中之一R_x上功率，涉及到歐姆定律等電路知識，表示出功率的式子后，要用到數學不等式a²+b²≥2ab，分母有最小值，則分工有最大值．