Question

13．如圖所示，在“嫦娥”探月工程中，設月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g₀．飛船在半徑為4R的圓形軌道Ⅰ上運動，到達軌道的A點時點火變軌進入橢圓軌道Ⅱ，到達軌道的近月點B時，再次點火進入近月軌道Ⅲ繞月做圓周運動，則（　　）

• A． 飛船在軌道Ⅲ的運行速率約等于$\sqrt{{g}_{0}R}$
• B． 飛船在軌道Ⅰ經A處的速率小于在軌道Ⅱ經A處的速度
• C． 飛船在A處重力加速度小于在B處重力加速度
• D． 飛船在軌道Ⅰ、軌道Ⅱ、軌道Ⅲ上運行的周期有T₁＞T₂＞T_III

Answer 1

分析 根據萬有引力提供向心力，以及萬有引力等于重力求出飛船在軌道Ⅰ上運行的速率．根據變軌的原理，抓住近月點的速度大于遠月點的速度比較飛船在軌道Ⅰ上運行速率與在軌道Ⅱ上B處的速率；根據牛頓第二定律比較加速度的大小，根據萬有引力提供向心力得出周期的表達式，結合軌道半徑之比求出周期之比．

解答 解：A、根據$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$得，飛船在軌道Ⅲ上的運行速率${v}_{1}=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，又GM=${g}_{0}{R}^{2}$，解得${v}_{1}=\sqrt{{g}_{0}R}$，故A正確．
B、飛船在軌道Ⅰ上的A點進入軌道Ⅱ，需減速，而在軌道Ⅱ上B點的速度大小大于A點的速度大小，可知飛船在軌道Ⅰ上運行速率小于在軌道Ⅱ上B處的速率，故B錯誤．
C、根據牛頓第二定律得，a=$\frac{G\frac{Mm}{{r}^{2}}}{m}=\frac{GM}{{r}^{2}}$，飛船在A點的加速度小于在軌道Ⅱ上B處的加速度，故C正確．
D、根據開普勒第三定律：$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}=k$飛船在軌道Ⅰ、軌道Ⅱ、軌道Ⅲ上的半長軸的關系為R₁＞R₂＞R_III，所以運行的周期有T₁＞T₂＞T_III，故D正確．
故選：ACD

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力，并能靈活運用．