Question

（2013?重慶一模）如圖，直線MN上方有平行于紙面且與MN成45°的有界勻強電場，電場強度大小未知；MN下方為方向垂直于紙面向里的有界勻強磁場，磁感應強度大小為B．今從MN上的O點向磁場中射入一個速度大小為v、方向與MN成45°角的帶正電粒子，該粒子在磁場中運動時的軌道半徑為R．若該粒子從O點出發記為第一次經過直線MN，而第五次經過直線MN時恰好又通過O點．不計粒子的重力．求：
（1）電場強度的大小；
（2）該粒子再次從O點進入磁場后，運動軌道的半徑；
（3）該粒子從O點出發到再次回到O點所需的時間．

Answer 1

分析：首先分析帶電粒子的運動情況，先是一段半徑為R的

1

4

圓弧到a點，接著恰好逆電場線勻減速運動到b點速度為零再返回a點速度仍為v，再在磁場中運動一段

3

4

圓弧到c點，之后垂直電場線進入電場作類平拋運動，再根據平拋運動和勻速圓周運動的基本公式及幾何關系即可解題．

解答：解：粒子的運動軌跡如圖，先是一段半徑為R的

1

4

圓弧到a點，接著恰好逆電場線勻減速運動到b點速度為零再返回a點速度仍為v，再在磁場中運動一段

3

4

圓弧到c點，之后垂直電場線進入電場作類平拋運動．
（1）易知，

.

oc

=2

2

R
帶電粒子類平拋運動的垂直和平行電場方向的位移都為
s⊥=s∥=

.

oc

sin45°=2R  ①
所以類平拋運動時間為
  t3=

s⊥

v

=

2R

v

          ②
又   s∥=

1

2

at32=

qE

2m

t32         ③
再者  R=

mv

qB

                  ④
由①②③④可得：E=vB               ⑤
（2）由平拋知識得：tanβ=2tanα=2          
所以     v_∥=vtanβ=2v         
[或 v∥=

1

2

t3 =

qE

m

2R

v

=

qvB

m

2R

v

=2v]
  v′=

v2+v∥2

=

5

v                    
則第五次過MN進入磁場后的圓弧半徑
  R′=

mv′

qB

=

5

R            
（3）粒子在磁場中運動的總時間為 t1=

2πR

v

            ⑥
粒子在電場中的加速度為  a=

qE

m

=

qvB

m

                
粒子做直線運動所需時間為t2=

2v

a

=

2mv

qvB

=

2R

v

        ⑦
由②⑥⑦式求得粒子從出發到第五次到達O點所需時間 t=t1+t2+t3=

2R

v

(2+π)       
答：（1）電場強度的大小為vB；
（2）該粒子再次從O點進入磁場后，運動軌道的半徑為

5

R；
（3）該粒子從O點出發到再次回到O點所需的時間為

2R

v

(2+π)．

點評：該題主要考查帶電粒子在電場和磁場中的運動問題，對同學們對粒子運動軌跡的分析要求較高，并要熟練掌握平拋運動及勻速圓周運動的基本公式，難度較大．