Question

20．如圖所示為一水平放置的彈簧振子，振子靜止于水平向右的x坐標軸原點O，現對振子施加一個水平向右的恒力F后，振子能向右最遠運動到x=x₀處，經歷時間為t，不計空氣阻力，已知彈性勢能表達式為E=$\frac{1}{2}$kx²，彈簧振子做簡諧振動的周期表達式為T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$，求：

①彈簧振子的質量；
②振子運動速度的最大值．

Answer 1

分析 （1）加上恒力F后，振子做簡諧振動，平衡位置在O到x₀的中點處，此時外力等于彈簧彈力；振子向右最遠處的過程經歷時間為半個周期，由此即可求出質量；
（2）根據給出的彈性勢能的表達式與功能關系即可求出．

解答 解：①加上恒力F后，振子做簡諧振動，平衡位置在O到x₀的中點處，此時外力等于彈簧彈力，F=k•$\frac{{x}_{0}}{2}$因其振動周期公式為T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$，由題意知，該振子做簡諧振動的周期為T=2t
聯立得m=$\frac{2F{t}^{2}}{{π}^{2}{x}_{0}}$
②振子到達平衡位置時速度最大，由功能關系知此時有
F•$\frac{{x}_{0}}{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{m}^{2}$+$\frac{1}{2}$k•（$\frac{{x}_{0}}{2}$）²
振子到達x₀處有：F•x₀=$\frac{1}{2}$k${x}_{0}^{2}$
聯立得v_m=$\sqrt{\frac{F{x}_{0}}{2m}}$=$\frac{π{x}_{0}}{2t}$
答：①彈簧振子的質量為$\frac{2F{t}^{2}}{{π}^{2}{x}_{0}}$；
②振子運動速度的最大值為$\frac{π{x}_{0}}{2t}$．

點評 該題結合彈簧振子的振動考查胡克定律以及彈簧振子的能量，理解并能夠使用題目給出的公式是解答的關鍵．