Question

（1）開普勒第三定律告訴我們：行星繞太陽一周所需時間的平方跟橢圓軌道半長徑的立方之比是一個常量．如果我們將行星繞太陽的運動簡化為勻速圓周運動，請你運用牛頓第二定律、萬有引力定律及圓周運動公式，推出這一規律
（2）太陽系只是銀河系中一個非常渺小的角落，銀河系中至少還有3000多億顆恒星，銀河系中心的質量相當于400萬顆太陽的質量．通過觀察發現，恒星繞銀河系中心運動的規律與開普勒第三定律存在明顯的差異，且周期的平方跟圓軌道半徑的立方之比隨半徑的增大而減小．請你對上述現象發表看法．

Answer 1

分析：1、行星繞太陽做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力G

Mm

r2

=mr(

2π

T

)2，化簡可推導出

T2

r3

=

4π2

GM

，行星繞太陽一周所需時間的平方跟橢圓軌道半長徑的立方之比只與中心天體--太陽的質量有關．
2、根據

T2

r3

=

4π2

GM

，比值減小的原因，只有一個那就是中心天體的質量變大．

解答：解：（1）行星繞太陽做勻速圓周運動，所需要的向心力由萬有引力提供，G

Mm

r2

=mr(

2π

T

)2
化簡得

T2

r3

=

4π2

GM

．
即：行星繞太陽一周所需時間的平方跟橢圓軌道半長徑的立方之比是一個常量．
（2）由關系式

T2

r3

=

4π2

GM

可知：周期的平方跟圓軌道半徑的立方之比的大小與圓心處的等效質量有關，因此半徑越大，等效質量越大．
觀點一：銀河系中心的等效質量，應把圓形軌道以內的所有恒星的質量均計算在內，因此半徑越大，等效質量越大．
觀點二：銀河系中心的等效質量，應該把圓形軌道以內的所有質量均計算在內，在圓軌道以內，可能存在一些看不見的、質量很大的暗物質，因此半徑越大，等效質量越大．

點評：本題主要考查萬有引力提供向心力這個關系，并能根據這個關系推導開普勒第三定律，難度不大，屬于中檔題．