Question

（2010?廈門二模）磁懸浮鐵路系統(tǒng)是一種新型的交通運輸系統(tǒng)，（如圖1）它是利用電磁系統(tǒng)產生的吸引力或排斥力將車輛托起，使整個列車懸浮在導軌上．同時利用電磁力進行驅動．采用直線電機模式獲得驅動力的列車可簡化為如下情景：固定在列車下端的矩形金屬框隨車平移；軌道區(qū)域內存在垂直于金屬框平面的磁場，磁感應強度沿Ox方向按正弦規(guī)律分布，最大值為B₀，其空間變化周期為2d，整個磁場以速度v₁沿Ox方向向前高速平移，由于列車沿Ox方向勻速行駛速度v₂與磁場平移速度不同，而且v₁＞v₂，列車相對磁場以v₁-v₂的速度向后移動切割磁感線，金屬框中會產生感應電流，該電流受到的向前安培力即為列車向前行駛的驅動力．設金屬框電阻為R，長PQ=L，寬NP=d，求：
（1）如圖2為列車勻速行駛時的某一時刻，MN、PQ均處于磁感應強度最大值處，此時金屬框內感應電流的大小和方向．
（2）列車勻速行駛S距離的過程中，矩形金屬線框產生的焦耳熱．
（3）列車勻速行駛時所獲得的最大驅動力的大小，并在圖3中定性畫出驅動力功率隨時間變化在

2d

v1-v2

時間內的關系圖線．

Answer 1

分析：（1）由題v₁＞v₂，線框中MN、PQ都切割磁感線，相對于磁場向左運動，從而產生感應電流，感應電流方向由右手定則判斷．線框相對于磁場速度大小為v₁-v₂，MN、PQ都產生感應電動勢，可公式求出感應電動勢和感應電流．
（2）列車勻速行駛過程中，線框中產生正弦式交變電流，根據有效值求出金屬線框產生的焦耳熱．
（3）當MN、PQ應位于磁場中磁感應強度同為最大值且方向相反處時，線框中產生的感應電動勢最大，感應電流最大，金屬框左右兩邊所受安培力最大，列車獲得的驅動力最大，根據電磁感應知識求出最大驅動力表達式和其功率表達式．

解答：解：（l）磁場沿Ox方向運動，v₁＞v₂，等效金屬框相對磁場向-x方向運動．由于此時刻MN、PQ邊所在處的磁感就強度大小均為B₀且方向相反，金屬框產生的電動勢：E=2B₀L（v₁-v₂）…①
  I=

E

R

…②
 I=

2B0L(v1-v2)

R

…③
電流的方向根據右手定則可知為：N→M→Q→P→N             
（2）設經過時間t，金屬框MN，PQ所在處磁場強度大小均為B，B=B₀cosωtω=

2π

T

，
又 T=

2d

(v1-v2)

得：ω=

π(v1-v2)

d

i=

2B L(v1-v2)

R

=2

B0L

R

(v1-v2)cosωt
得到電流瞬時值的表達式是：i=2

B0L

R

(v1-v2)cos

π(v1-v2)

d

t…④
④式是正弦交流電流，其交流電最大值為：Im=

2B0L(v1-v2)

R

…⑤
其交流電有效值為：I=

Im

2

…⑥
  t=

S

v2

…⑦
矩形金屬線框的發(fā)熱功率為：Q=I²Rt…⑧
得：Q=

2 B 2 0 L2S(v1-v2)2

Rv2

…⑨
（3）為使列車得最大驅動力，MN、PQ應位于磁場中磁感應強度同為最大值且反向處，這會使得金屬框所圍面積的磁通量變化率最大，導致框中電流最強，也會使得金屬框長邊中電流受到的安培力最大．
根據安培力公式，MN邊所受的安培力F_MN=B₀IL
PQ邊所受的安培力F_PQ=B₀IL
根據左手定則，MN、PQ邊所受的安培力同向，此時列車驅動力的大小F
F=F_MN+F_PQ=2 B₀IL…⑩
由③⑩式聯立解得：F=

4B   2 0 L2(v1-v2)

R

…（11）
驅動力瞬時值表達式是：Ft=2BLi=

4 B 2 0 L2(v1-v2)

R

cos2

π(v1-v2)

d

t
驅動力功率的瞬時值：P=F_tv₂
所以：P=

2 B 2 0 L2v2(v1-v2)

R

[1+cos

2π(v1-v2)

d

t]
畫出的驅動力功率隨時間變化在

2d

v1-v2

時間內的關系圖線見右圖．
答：
（1）此時金屬框內感應電流的大小為

2B0L(v1-v2)

R

，電流的方向由N→M→Q→P→N．
（2）列車勻速行駛S距離的過程中，矩形金屬線框產生的焦耳熱為

2 B 2 0 L2S(v1-v2)2

Rv2

．
（3）列車勻速行駛時所獲得的最大驅動力的大小為

2B02L2v2(v1-v2)

R

[1+cos

2π(v1-v2)

d

t]，定性畫出的驅動力功率隨時間變化在

2d

v1-v2

時間內的關系圖線見上．

點評：本題是電磁學知識在科學技術中的應用，是復雜的電磁感應現象，是高考命題常有的題型．通過本題的研究可以培養(yǎng)分析問題和解決實際問題的能力．