Question

如圖所示，虛線MO與水平線PQ相交于O，二者夾角θ=30°，在MO左側存在電場強度為E、方向豎直向下的勻強電場，MO右側某個區域存在磁感應強度為B、垂直紙面向里的勻強磁場，O點處在磁場的邊界上．現有一群質量為m、電量為+q的帶電粒子在紙面內以速度v（0≤v≤

E

B

）垂直于MO從O點射入磁場，所有粒子通過直線MO時，速度方向均平行于PQ向左．不計粒子的重力和粒子間的相互作用力，求：
（1）速度最大的粒子自O點射入磁場至返回水平線POQ所用的時間．
（2）磁場區域的最小面積．
（3）根據你以上的計算可求出粒子射到PQ上的最遠點離O的距離，請寫出該距離的大小（只要寫出最遠距離的最終結果，不要求寫出解題過程）

Answer 1

分析：（1）根據題設條件畫出粒子運動的軌跡，根據軌道知，粒子經歷三個運動，磁場中的勻速圓周運動、離開磁場后的勻速直線運動和進入電場后的類平拋運動，根據題設條件分三段分別利用運動規律求解粒子運動的時間即可；
（2）根據題目條件，磁場區域只需要存在于粒子發生偏轉的過程中，作出不同速度粒子的偏情況，求出滿足條件的磁場區域即可；
（3）分三段求PO間的距離，圓周運動部分、勻速運動部分和類平拋運動部分．

解答：解：（1）粒子的運動軌跡如圖所示，設粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的半徑為R，周期為T，粒子在勻強磁場中運動時間為t₁

則 qBv=

mv2

R

即R=

mv

qB

T=

2πm

qB

t1=

1

3

T
最大速度v_m的粒子自N點水平飛出磁場，出磁場后做勻速運動至OM，設勻速運動的時間為t₂，有：t2=

R

vmtanθ

過MO后粒子做類平拋運動，設運動的時間為t₃，則：

3

2

R=

1

2

qE

m

t32
又由題知最大速度v_m=

E

B

則速度最大的粒子自O進入磁場至重回水平線POQ所用的時間t=t₁+t₂+t₃
解以上各式得：t=

6 3 +2π

3

m

qB

（2）（6分）由題知速度大小不同的粒子均要水平通過OM，則其飛出磁場的位置均應在ON的連線上，故磁場范圍的最小面積△S是速度最大的粒子在磁場中的軌跡與ON所圍成的面積．

扇形OO'N的面積S=

1

3

πR2
△OO'N的面積為：S′=R2cos300sin300=

3

4

R2
又△S=S-S'（1分）
聯立得：△S=(

π

3

-

3

4

)

m2E2

q2B4

（3）粒子射到PQ上的最遠點離O的距離d=

4 3 +1

2

mE

qB2

．（由分析知，最遠距離分三段求，圓周運動部分，勻速運動部分和類平拋運動部分）
答：（1）速度最大的粒子自O點射入磁場至返回水平線POQ所用的時間為

6 3 +2π

3

m

qB

．
（2）磁場區域的最小面積為(

π

3

-

3

4

)

m2E2

q2B4

．
（3）根據你以上的計算可求出粒子射到PQ上的最遠點離O的距離，該距離的大小

4 3 +1

2

×

mE

qB2

點評：本題考查帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動和在電場中做類平拋運動的知識，對學生幾何能力要求較高．