Question

如圖所示，光滑水平面上，有一質量為M，長為L的長木板，它的左端有一質量為m的小物塊（已知m＜M），物塊與長木板之間的動摩擦因數為μ．開始時木板與小物塊均靠在左邊固定的豎直擋板處，以共同速度v₀向右運動，右邊也有一同樣固定的豎直擋板，且左右擋板之間的距離足夠長．假設長木板與兩擋板的碰撞時間極短，碰撞前后速度反向，速率不變．
（1）試求物塊不從長木板上滑下板長L應滿足的條件．（用上述已知字母表達）
（2）若第一問條件滿足，且M=2kg，m=1kg，v₀=3m/s，μ=0.5．試計算整個過程中小物塊在長木板上滑行的總路程以及長木板在第三次與擋板碰撞前系統損失的機械能．

Answer 1

分析：（1）木板第一次與右側固定板相撞后，木板反彈，塊與板相對運動，最后一起向左運動，然后板與左側固定板相撞塊與板的相對運動與第一次相反，所以物塊不從木板上滑下木板長度不小于第一次相對位移即可．根據動量守恒和能量守恒列式即可求解；
（2）木板不斷與豎直板碰撞，總動量不斷減少，最后變為零．對前面兩次碰撞運用動量守恒求出末速度，系統損失的機械能等于動能的減少量．

解答：解：（1）木板第一次與右側固定板相撞后，木板反彈，塊與板相對運動，最后一起向左運動，然后板與左側固定板相撞塊與板的相對運動與第一次相反，所以物塊不從木板上滑下木板長度不小于第一次相對位移即可．
根據動量守恒：Mv₀-mv₀=（m+M）v₁
根據能量守恒：μmg△S=

1

2

(m+M)v02-

1

2

(m+M)v12
解得：△S=

(m+M)(v02-v12)

2μmg

 所以：L≥△S=

(m+M)(v02-v12)

2μmg

（2）木板不斷與豎直板碰撞，總動量不斷減少，最后變為零．
根據能量守恒：μmgS=

1

2

(m+M)v02
解得：S=

(m+M)v02

2μmg

=2.7m
第一次碰撞：根據動量守恒：Mv₀-mv₀=（m+M）v₁得：v₁=1m/s
第二次碰撞：根據動量守恒：Mv₁-mv₁=（m+M）v₂得：v2=

1

3

m/s
所以與板碰撞損失的機械能△EK=

1

2

(m+M)v02-

1

2

(m+M)v22=

40

3

J
答：（1）物塊不從長木板上滑下板長L應滿足的條件為：L≥△S=

(m+M)(v02-v12)

2μmg

；（2）整個過程中小物塊在長木板上滑行的總路程以及長木板在第三次與擋板碰撞前系統損失的機械能為

40

3

J．

點評：在應用動量守恒和功能關系解題時，注意將復雜過程分解多個簡單過程，注意狀態的選取，化繁為簡，然后根據動量守恒和功能關系列方程求解．