Question

（12分）如圖所示，一個圓弧形光滑細圓軌道ABC，放置在豎直平面內，軌道半徑為R，A點與水平地面AD相接，地面AD與圓心O等高，MN是放在水平地面上長為3R，厚度不計的墊子，左端M正好位于A點。將一個質量為m，直徑略小于圓管直徑的小球從A處管口正上方某處由靜止釋放，不考慮空氣阻力。

（1）若小球從C點射出后恰好能打到墊子的M端，則小球經過C點時對管的作用力大小和方向如何？

（2）欲使小球能通過C點落到墊子上，釋放點離A點的高度如何？

Answer 1

解：（1）小球離開C點后做平拋運動，落到M點時水平位移為R，豎直下落高度為R，設平拋運動的時間為t，從C點射出的速度為。

根據運動學公式得：

R=     ①

R=        ②

小球以水平速度經過C點時，受到管子對它豎直向上的作用力，

  ③

聯立①②③可得：=

由牛頓第三定律可知，小球對管子作用力大小為，方向豎直向下。

       （2）小球靜止釋放的高度最小時，小球運動的水平位移為R，打到M點。能夠落到M點的水平速度為，設小球離A點的最小高度為

    mg（-R）=       ④

    聯立①②④可得：=

       小球靜止釋放的高度最高時，小球運動的水平位移為4R，打到N點。設能夠落到N點的水平速度為

4R=           ⑤

設小球離A點的最大高度為，有動能定理可得：

mg（-R）=  ⑥

聯立①⑤⑥可得：=5R

故釋放點離A點的高度：