Question

如右圖所示，質量為m的物體恰好能在傾角為α的斜面上勻速下滑，如在物體上施加一個力F使物體沿斜面勻速上滑，為了使得力F取最小值，這個力與斜面的傾斜角θ為多大？這個力的最小值是多少？（設斜面長l）

Answer 1

分析：先根據物體恰好勻速下滑求出摩擦因數，然后根據平衡條件列方程求解．

解答：解：物體從斜面的上端恰好能勻速下滑，由平衡條件得?：
mg sin α=μmg cos α
μ=tg α
在F的作用下物體向斜面上運動的過程中，F的沿斜面分量及物體與斜面間的滑動摩擦力均與θ角的大小有關，在力F拉物體沿斜面勻速上升時，根據物體的平衡條件得（選沿斜面向上方向為x軸正方向，垂直于斜面向上為y軸正方向）：?
F cosθ-mg sin α-f=0（1）
F sinθ+N-mg cos α=0（2）
其中N為斜面對物體的支持力，且f=μN=tanαN．由（1）、（2）兩式可以解得?
F=

sinα+μcosα

cosθ+μsinθ

mg
上式中分子（sin α+μ cos α）mg是一個確定值，F的大小隨分母變化．分母
?cosθ+μsinθ=

1+μ

[

1

1+μ2

cosθ+

μ

1+μ

sinθ]=sin（φ+θ）?
當?sin（φ+θ）=1，即φ+θ=90°時，分母最大F最小．
因為φ=arctg

1

μ

，所以θ=90°-φ=arctgμ時F取小值

sinα+μcosα

1+μ2

mg．
答：以θ=arctgμ時F取小值

sinα+μcosα

1+μ2

mg．

點評：本題考查了受力分析以及力的平衡，關鍵是分析數學解析式的極值問題，難度稍大．