Question

1．如圖所示，豎直環A半徑為r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右兩側各有一擋板固定在地上，B不能左右運動，在環的最低點靜放有一小球C，A、B、C的質量均為m，現給小球一水平向右的瞬時速度v，小球會在圓環內側做圓周運動，為保證小球能通過環的最高點，且不會使環在豎直方向上跳起，初速度v必須滿足（　　）

• A． 最小值為$\sqrt{4gr}$
• B． 最大值為$\sqrt{6gr}$
• C． 最小值為$\sqrt{5gr}$
• D． 最大值為$\sqrt{7gr}$

Answer 1

分析 小球在環內側做圓周運動，通過最高點速度最小時，軌道對球的最小彈力為零，根據牛頓第二定律求出小球在最高點的最小速度；為了不會使環在豎直方向上跳起，小球在最高點對軌道的彈力不能大于5mg，根據牛頓第二定律求出最高點的最大速度，再根據機械能守恒定律求出小球在最低點的速度范圍．

解答 解：在最高點，速度最小時有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：v₁=$\sqrt{gR}$．
從最高點到最低點的過程中，機械能守恒，設最低點的速度為v₁′，根據機械能守恒定律，有：
2mgR+$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$mv₁′²
解得：v₁′=$\sqrt{5gR}$．
要使不會使環在豎直方向上跳起，環對球的壓力最大為：
F=2mg+3mg=5mg
從最高點到最低點的過程中，機械能守恒，設此時最低點的速度為v₂′，
在最高點，速度最大時有：mg+5mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
解得：v₂=$\sqrt{6gR}$．
根據機械能守恒定律有：2mgR+$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₂′²
解得：v₂′=$\sqrt{10gR}$．
所以保證小球能通過環的最高點，且不會使環在豎直方向上跳起，在最低點的速度范圍為：$\sqrt{5gR}$≤v≤$\sqrt{10gR}$．故CD正確，AB錯誤．
故選：CD．

點評 本題綜合考查了牛頓第二定律和機械能守恒定律，關鍵理清在最高點的兩個臨界情況，求出在最高點的最大速度和最小速度．