Question

宇宙間存在一些離其它恒星較遠的、由質量相等的四顆星組成的四星系統，通常可忽略其他星體對它們的引力作用．已觀測到的四星系統存在著一種基本的構成形式是：三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，第四顆星位于圓形軌道的圓心處，已知圓形軌道的半徑為R，每顆星體的質量均為m．求：
（1）中心星體受到其余三顆星體的引力的大小；
（2）三顆星體沿圓形軌道運動的線速度和周期．

Answer 1

分析：（1）作出中心天體與其余三顆星體的位置關系，由圖可知，中心星體受到其余三顆星體的引力大小相等，方向互成120⁰．
據力的合成法則，中心星體受到其他三顆星體的引力的合力為零．
（2）對圓形軌道上任意一顆星，根據萬有引力定律和牛頓第二定律有：
G

m?m

R2

+2G

m?m

r2

?cos300=m

v2

R

由幾何關系可知，r=2R?cos30°
由次可解得三顆星體運動的線速度v．
則可解得三顆星運動的周期T=

2πR

v

．

解答：解：（1）中心星體受到其余三顆星體的引力大小相等，方向互成120⁰．
據力的合成法則，中心星體受到其他三顆星體的引力的合力為零．
（2）對圓形軌道上任意一顆星，根據萬有引力定律和牛頓第二定律有：
G

m?m

R2

+2G

m?m

r2

?cos300=m

v2

R

又因為r=2R?cos30°
由以上兩式可得三顆星體運動的線速度為：v=

(1+ 3 )Gm 3 R

三顆星運動的周期為：T=

2πR

v

=2πR

3 R (1+ 3 )Gm

答：（1）中心星體受到其余三顆星體的引力的大小為零；
（2）三顆星體沿圓形軌道運動的線速度為

(1+ 3 )Gm 3 R

，周期為2πR

3 R (1+ 3 )Gm

．

點評：本題關鍵勢能正確的畫出中心星體與其余三顆星體的空間位置關系，根據幾何關系確定向心力的來源．