Question

15．月球的質量為R₁，半徑為M₁，地球的質量為R₂，半徑為M₂，月球繞地球轉動的軌道半徑為r，萬有引力常量為G，則月球表面重力加速度為$\frac{G{M}_{1}}{{R}_{1}^{2}}$，在月球繞地球運行的軌道處由地球引力引起的重力加速度為$\frac{G{M}_{2}}{{r}^{2}}$，月球繞地球轉動的向心加速度為$\frac{G{M}_{2}}{{r}^{2}}$，要使月球不會由于自轉解體，則月球的自轉角速度滿足條件為ω≤$\sqrt{\frac{G{M}_{1}}{{R}_{1}^{3}}}$．

Answer 1

分析 在月球表面，物體的重力等于萬有引力，根據萬有引力定律列式求解即可；
在在月球繞地球運行的軌道處，重力等于萬有引力，根據牛頓第二定律列式求解即可；
在月球繞地球運行的軌道處，重力等于萬有引力，萬有引力提高月球圓周運動的向心力，故向心加速度等于該位置的重力加速度；
要使月球不會由于自轉解體，臨界情況是赤道上物體的萬有引力等于向心力．

解答 解：月球的質量為R₁，半徑為M₁，在月球表面，物體的重力等于萬有引力，故：mg_月=$\frac{G{M}_{1}m}{{R}_{1}^{2}}$
解得：g_月=$\frac{G{M}_{1}}{{R}_{1}^{2}}$
在月球繞地球運行的軌道處，重力等于萬有引力，故：mg′=$\frac{G{M}_{2}m}{{r}^{2}}$
解得：g′=$\frac{G{M}_{2}}{{r}^{2}}$
在月球繞地球運行的軌道處，萬有引力提高月球圓周運動的向心力，故：a=g′=$\frac{G{M}_{2}}{{r}^{2}}$
要使月球不會由于自轉解體，最大角速度對應的是赤道上物體的萬有引力等于向心力，故：
$G\frac{{M}_{1}m}{{R}_{1}^{2}}=m{{ω}_{max}}^{2}{R}_{1}$
解得：ω_max=$\sqrt{\frac{G{M}_{1}}{{R}_{1}^{3}}}$
故ω≤$\sqrt{\frac{G{M}_{1}}{{R}_{1}^{3}}}$
故答案為：$\frac{G{M}_{1}}{{R}_{1}^{2}}$，$\frac{G{M}_{2}}{{r}^{2}}$，$\frac{G{M}_{2}}{{r}^{2}}$，ω≤$\sqrt{\frac{G{M}_{1}}{{R}_{1}^{3}}}$．

點評 本題關鍵是明確力是產生加速度的原因；在星球表面，不考慮星球自轉的情況下，重力等于萬有引力；在空中，重力等于萬有引力．