Question

9．圖甲為某種彈射小球的游戲裝置，光滑水平面上固定一輕質彈簧及長度可調節的豎直細管AB，細管下端接有一小段長度不計的圓滑彎管，上端B與四分之一圓弧彎管BC相接，每次彈射前，推動小球將彈簧壓縮到同一位置后鎖定，解除鎖定，小球即被彈簧彈出．水平射進細管的A端，再從C端水平射出．已知彎管BC的半徑R=0.3m，小球的質量m=50g，當豎直細管的長度L=0.1m時，小球到達管口C處時的速度大小v_c=4m/s．不計小球運動中的機械能損失，重力加速度g取10m/s²．

（1）求每次彈射時彈簧對小球所做的功；
（2）調節L時，小球到達管口C時管壁對球的作用力F_N也相應變化，考慮到游戲裝置的實際情況，L不能小于0.03m．通過計算求出F_N與L之間的關系式，并在圖乙所示的坐標紙上作出F_N隨長度L變化的關系圖線．（取管壁對球的作用力F_N方向向上為正）

Answer 1

分析 （1）當L=0.1m時，根據功能原理求得小球彈射時彈簧對小球做的功．
（2）小球通過C時臨界速度為$\sqrt{gR}$時，小球對管道壁沒有作用力，大于臨界速度時對上管壁有壓力，小球臨界速度時對下管壁有壓力，根據動能定理求出經過C點的速度，根據牛頓第二定律求出管壁對球的作用力與長度L的關系，再畫出圖象．

解答 解：（1）當L=0.1 m時，由功能原理得：
每次彈射時彈簧對小球所做的功  W=mg（L+R）+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得：W=0.6J；
（2）小球在C點處的向心力：mg-F_N=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
為使小球能到達C處，須滿足：
  W-mg（L+R）≥0
得 L≤0.9 m
所以F_N=$\frac{10}{3}$L-$\frac{5}{2}$（N）（0.03m≤L≤0.9m）
F_N隨長度L變化的關系圖線如上圖所示；
答：
（1）每次彈射時彈簧對小球所做的功是0.6J．
（2）F_N與L之間的關系式是F_N=$\frac{10}{3}$L-$\frac{5}{2}$（N）（0.03m≤L≤0.9m），在圖乙所示的坐標紙上作出F_N隨長度L變化的關系圖線如圖．

點評 本題考查了機械能守恒定律與平拋運動規律，掌握小球能過最高點的臨界條件，注意掌握過最高點時的繩球模型和桿球模型臨界條件的不同．